Konvergenz von Reihen

06.02.2007, 15:55

Lunatic

Konvergenz von Reihen

Für welche p € R konvergieren die Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{(n!)^p}{(3n)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{p^{(n^2)}}{n!} \end{eqnarray*}$

(Hinweis: bei der zweiten Reihe benögtigt man $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{ln(n+1)}{n}=0 \end{eqnarray*}$ )

Habe es mit dem Quotientenkriterium versucht. Warum geht das aber nicht so gut?! traurig

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{x_(n+1)}{x_n} \mid = \frac{((n+1)!)^p}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{(n!)^p} \end{eqnarray*}$ und weiter komme ich hier auch nicht... ist das überhaupt der richtige Weg?!?!?!?!

Edit: bei der zweiten Reihe heißt es im Zähler übrigens: p hoch n hoch 2 ...

06.02.2007, 16:53

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
Geht doch gut! Du musst nur noch ein wenig kürzen, also $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \end{eqnarray*}$ , usw.

06.02.2007, 16:58

Lunatic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von Arthur Dent
Geht doch gut! Du musst nur noch ein wenig kürzen, also $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \end{eqnarray*}$ , usw.

scheint zu stimmen...doch woher hast du das?! verwirrt

06.02.2007, 17:02

Auf diesen Beitrag antworten »

Das folgt direkt aus der Fakultätsdefinition, genauso wie

$\begin{eqnarray*} (3(n+1))! = (3n+3)! = (3n+3)\cdot (3n+2)! = (3n+3)(3n+2)\cdot (3n+1)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)\cdot (3n)! \end{eqnarray*}$ .

06.02.2007, 17:08

Lunatic

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar! stimmt n! = n*(n-1)! ... danke Gott

06.02.2007, 18:08

Lunatic

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie geht geht man an die zweite aufgabe?! und was soll der hinweis? verwirrt

edit: ich bekomme folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{p^{(2n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$

06.02.2007, 18:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: $\begin{eqnarray*} p^{2n+1} = exp(ln(p^{2n+1})) \end{eqnarray*}$

06.02.2007, 18:31

Lunatic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Tipp: $\begin{eqnarray*} p^{2n+1} = exp(ln(p^{2n+1})) \end{eqnarray*}$

bzw

$\begin{eqnarray*} p^{2n+1} = e ^{(2n+1)lnp} \end{eqnarray*}$

ok und nun?...ich erkenn immer noch nichts... verwirrt

07.02.2007, 08:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lunatic
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{p^{(2n+1)}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Es ging ja um diesen Grenzwert. Jetzt setz mal für $\begin{eqnarray*} p^{(2n+1)} \end{eqnarray*}$ die Geschichte mit der e-Funktion ein. Für welche p hat der Zähler bzw. die e-Funktion welches Verhalten? Was ergibt sich dann für den Grenzwert?

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von Reihen

Verwandte Themen