Welche reellen Zahlen x erfüllen die Gleichung

22.10.2012, 17:35

baba2k

Welche reellen Zahlen x erfüllen die Gleichung

Hallo zusammen,

nun wurde doch mein anderes Account mit meinem richtigen Nick freigeschaltet
und ich werde ab sofort hiermit weiterarbeiten (E-Mail kam zu spät). Ich bitte
dies zu entschuldigen.

Ich habe schon wieder eine Frage zur Algebra:

Seien a, b, c beliebige rellen Zahlen. Welche rellen Zahlen x erfüllen die Gleichung

(i) $\begin{eqnarray*} ax + b = 3x + 2 \end{eqnarray*}$ ?

(ii) $\begin{eqnarray*} (a - b)(ax + c) = (a + b)(ax - c) \end{eqnarray*}$ ?

(iii) $\begin{eqnarray*} |3x + 1| = 4x -1 \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde jetzt bei (i) versuchen zuerst nach b aufzulösen und dann in die Ausgangsgleichung einzusetzten um so a (und dann auch b) zu berechnen.

Rechnung (i):

$\begin{eqnarray*} ax + b = 3x + 2 b = -ax + 3x + 2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in Ausgangsgleichung (i):

$\begin{eqnarray*} ax -ax + 3x + 2 = 3x + 2 3x + 2 = 3x + 2 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?

Gruß baba (ehemals lou)

22.10.2012, 17:41

lgrizu

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RE: Welche reellen Zahlen x erfüllen die Gleichung
Jap, wie kommst du auf die Idee, einen Term für b wieder in die Gleichung einzusetzen, aus der du den Term für b gewonnen hast? Ist doch klar, dass da dann 0=0 herauskommt, was im allgemeinen ja auch richtig ist, aber uns nicht weiter hilft.

Wie wäre es denn, wenn du die Glecihung nach x auflöst, schließlich ist die Fragestellung, für welche x es Lösungen der Gleichung gibt.

22.10.2012, 17:45

baba2k

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Nun doch als neuer Beitrag, da mittlerweile schon geantwortet wurde:

//EDIT: Wenn ich mir die Aufgabe nochmal so durchlese muss ich wahrscheinlich nach x Auflösen?

Rechnung (i) 2. Versuch:

$\begin{eqnarray*} ax + b = 3x + 2 ax - 3x = 2 - b x(a - 3) = 2 -b x = \frac{2-b}{a-3} \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig? Muss ich das noch irgendwie Umformen?

22.10.2012, 18:16

lgrizu

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Genau, das ist richtig.

Umzuformen gibt es nicht mehr, man kann noch einschränkungen für a machen....

22.10.2012, 18:29

baba2k

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Danke!
Einschränkung für Rechnung (i) wäre: $\begin{eqnarray*} a\neq3 \end{eqnarray*}$

Analog dazu:
Rechnung (ii):

$\begin{eqnarray*} (a - b)(ax + c) = (a + b)(ax - c) a^{2}x + ac - abx -bc = a^{2}x - ac + abx - bc ac - abx = - ac + abx -2abx = -2ac 2abx = 2ac x = \frac{2ac}{2ab} x = \frac{c}{b} \end{eqnarray*}$
Einschränkung für Rechnung (ii) wäre: $\begin{eqnarray*} b\neq0 \end{eqnarray*}$

Rechnung (iii):

$\begin{eqnarray*} |3x + 1| = 4x - 1 \end{eqnarray*}$

1. Fall $\begin{eqnarray*} 3x + 1\geq0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 3x + 1 = 4x - 1 -x = -2 x = 2 \end{eqnarray*}$

2. Fall $\begin{eqnarray*} 3x + 1<0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} -(3x + 1) = 4x - 1 -(3x + 1) = 4x - 1 -3x - 1 = 4x - 1 -7x = 0 x = 0 \end{eqnarray*}$

Sind die Einschränkungen so okay (Besonders Rechnung (iii) Fall 1) ?
Und sind die 3. Aufgaben dann so richtig gelöst?

Vielen Dank!

22.10.2012, 21:54

lgrizu

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Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} 2abx = 2ac x = \frac{2ac}{2ab} x = \frac{c}{b} \end{eqnarray*}$
Einschränkung für Rechnung (ii) wäre: $\begin{eqnarray*} b\neq0 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle ist ferner notwendig, dass $\begin{eqnarray*} ab \neq 0 \end{eqnarray*}$ , ansonsten würdest du ja durch 0 dividieren...

iii) ist soweit richtig, aber noch einmal überlegen:

$\begin{eqnarray*} 3x+1 >0 \Rightarrow x > - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Zusammen mit deiner Lösung $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ muss aso beides gelten, und da $\begin{eqnarray*} 2>- \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist alles in Ordnung.

Beim Fall 2:

$\begin{eqnarray*} x <- \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , wie ist also die Lösungsmenge?

22.10.2012, 22:04

baba2k

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Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

An dieser Stelle ist ferner notwendig, dass $\begin{eqnarray*} ab \neq 0 \end{eqnarray*}$ , ansonsten würdest du ja durch 0 dividieren...

Achso, auch wenn das a weggekürzt wird?

Zitat:

iii) ist soweit richtig, aber noch einmal überlegen:

$\begin{eqnarray*} 3x+1 >0 \Rightarrow x > - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Zusammen mit deiner Lösung $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ muss aso beides gelten, und da $\begin{eqnarray*} 2>- \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist alles in Ordnung.

Beim Fall 2:

$\begin{eqnarray*} x <- \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , wie ist also die Lösungsmenge?

Ist es nur $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \geq0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} L={2} \end{eqnarray*}$ ? Weil 0 nicht $\begin{eqnarray*} < -1/3 \end{eqnarray*}$ ?

22.10.2012, 22:06

baba2k

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Zitat:

Original von baba2k

Zitat:

Original von lgrizu
[quote]Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} 2abx = 2ac x = \frac{2ac}{2ab} x = \frac{c}{b} \end{eqnarray*}$
Einschränkung für Rechnung (ii) wäre: $\begin{eqnarray*} b\neq0 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle ist ferner notwendig, dass $\begin{eqnarray*} ab \neq 0 \end{eqnarray*}$ , ansonsten würdest du ja durch 0 dividieren...

Achso, auch wenn das a weggekürzt wird?

Zitat:

Stimmt, ich habe es nicht aufgelöst, aber ist es
nur $\begin{eqnarray*} x >- \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \geq\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} L={2} \end{eqnarray*}$ ? Weil 0 nicht $\begin{eqnarray*} < -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ?

22.10.2012, 22:12

lgrizu

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Okay,, größer/gleich natürlich.

Ob das a danach weggekürzt wird oder nicht spielt keine Rolle, durch 0 darf nicht dividiert werden....

22.10.2012, 22:15

baba2k

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Okay danke und wie schreibe ich das korrekt auf?

$\begin{eqnarray*} 2>- \frac{1}{3} 0>- \frac{1}{3} \Rightarrow L={2} \end{eqnarray*}$

?

"Ist nicht kleiner" das Zeichen gibts ja nicht oder?

Vielen Dank!

23.10.2012, 09:59

lgrizu

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Entweder $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} L=\left\{ 2 \right\} \end{eqnarray*}$ .

Man kann noch anmerken, dass die Bedingungen für Fall 2, nämlich $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ keine Lösung liefern.

Zitat:

Original von baba2k
"Ist nicht kleiner" das Zeichen gibts ja nicht oder?

Doch, das gibt es auch:

$\begin{eqnarray*} \not< \end{eqnarray*}$

Die Eingabe dafür lautet:

code:
1:	\not<

23.10.2012, 18:27

baba2k

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Zitat:

An dieser Stelle ist ferner notwendig, dass $\begin{eqnarray*} ab \neq 0 \end{eqnarray*}$ , ansonsten würdest du ja durch 0 dividieren...

Hey,

ich wollte das gerade nochmal mit Wolfram Alpha nachrechnen, bevor ich mir das ausdrucke.
Der zeigt mir komischerweise nur $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ an. Ist das ein Fehler von Wolfram Alpha?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...Bb%29%28ax-c%29

25.10.2012, 23:11

lgrizu

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Fallunterscheidung, den Fall a=0 seperat betarchten....

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