Dualraum, Operatornorm

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum, Operatornorm
Meine Frage:
Ich verstehe eine Ungleichung (die in einem Beweis vorkommt) nicht.

Wieso gilt:

?

Hierbei soll sein (also ein Element aus dem Dualraum und soll die n-te Einheitsfolge sein. Außerdem soll die Operatornorm auf dem Dualraum sein (die Norm des Urbildraums ist und ).

Meine Ideen:
Ich kann mir diese Abschätzung leider nicht erklären.

Falls jemand den ganzen Beweis sehen will:

Dirk Werner, Funktionalanalysis, S. 59.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Das folgt sofort aus der Definition von .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du mir das erklären, ich starre darauf und sehe es partout nicht. unglücklich
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht


Wenn man mal das Argument von y' als ungleich null voraussetzt, im Fall dass es Null wird, ist die Ungleichung ja klar.

Obwohl ich auch etwas merkwürdig finde, dass in der Summe t_ne_n steht, und nicht einfach nur t_n?

Okay hat wohl rein formale gründe.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt jetzt das A her?

Also das erste = ist mir klar, das gilt wegen der Linearität von y'

Aber wieso gilt das kleiner gleich?
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Das A ist das Argument von y'. Das im Nenner ist die Norm des Arguments, wenn man es reinzieht, hat das neue Argument Norm 1 und die Norm von y' ist gerade das Supremum über die Beträge von y', wenn das Argument <=1 ist.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke.

Aber zwei Dinge verwundern mich:


1.) Ist denn ?

2.) Bei der p-Norm addiert man doch bis unendlich (Summationsindex), hier nur bis N.

Kann man dann wirklich sagen, dass im Nenner steht?
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Ad 1) das hat mich auch gewundert, entscheidend ist aber, die rechte Seite ist eine reelle Zahl, die linke ein Element von l_p
Ad 2) die Folgenglieder mit Index >N sind 0.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010


1.) Ist denn ?


Nein, auf der linken Seite steht ein Element aus , auf der rechten Seite die Summe seiner Koeffizienten, also eine Zahl aus

Edit: da hat sich was überschnitten, aber so hast du es von zwei Seiten Augenzwinkern

Gruß
Peter
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ungewiss
entscheidend ist aber, die rechte Seite ist eine reelle Zahl, die linke ein Element von l_p


Und wieso haut das dann hin?


zu ad2) Woher weiß man das die Folgenglieder Null sind
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst doch ein Element aus durch seine Norm teilen. Dann kommst du auf ein skaliertes Element aus mit der Norm 1. Wenn du darauf den linearen Operator anwendest, so muss die sich ergebende Zahl auf alle Fälle kleiner-gleich der Norm des Operators sein, denn die ist ja gerade als das Supremum für die Anwendung von auf alle Einheitsvektoren aus definiert.

Gruß
Peter
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich kapiert, danke!!


Und dann noch die eine Frage, wieso die Summanden mit Index>N Null sind bzw. woher man das weiß.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir an was die e_n sind.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Der legt das einfach fest, dass alle Koeffizienten für n > N gleich 0 sind. Dies ist sozusagen eine Projektion von auf den Unterraum der ersten N Dimensionen. Die Ungleichung gilt für alle diese Projektionen mit beliebigem N.

Gruß
Peter
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, es ist ja

und das ist ja , also die p-Norm der Folge




Ich habe erst gar nicht kapiert, dass ja nichts Anderes als eine FOLGE ist.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

genau smile

Gruß
Peter
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank für die Hilfe! Freude
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