Aufgabe 2 zur Mengenlehre

06.02.2007, 16:20

brunsi

Aufgabe 2 zur Mengenlehre

Ich muss zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup (\neg A\cap B)=B \end{eqnarray*}$

Leider haben wir in der Schule niemals mit Menenoperationen gerechnet, daher versuche ich jetzt erst einmal ein paar Basics zus chaffen.

Zur Lösung:

1. Anwendung von Distributiv-u.-Assoziationsgesetzen
2. DeMORGANschen Regeln

$\begin{eqnarray*} (A\cup \neg A)\cap B=B \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?? Kann ich das auch so formal aufschreiben??
Jetzt muss ich noch irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A\cup \neg A= B \end{eqnarray*}$ . Wie mache ich das denn nun??

Muss irgendwie auf $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg A\subset B \end{eqnarray*}$ kommen. Könnte mir das jmd. bestätigen und mir nun erzählen, ob ich mit dem Komplement weiter operieren muss??

Lieben Gruß Dennis

06.02.2007, 17:15

Lazarus

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Mal eine Anschauliches Beispiel für $\begin{eqnarray*} A\cup \neg A \end{eqnarray*}$ :

Die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind alle zahlen die durch 2 teilbar sind (=geraden zahlen).
$\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ sind folglich alle ungeraden zahlen.

Wenn ich nun alle ungeradne und alle geraden Zahlen zusammenfasse, was ist in der erhaltenen menge dann enthalten?

06.02.2007, 18:11

brunsi

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alle zahlen aus $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
also muss ich das hier an einem beispiel belegen???

06.02.2007, 18:33

Abakus

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RE: Aufgabe 2 zur Mengenlehre

Zitat:

Original von brunsi
Ich muss zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup (\neg A\cap B)=B \end{eqnarray*}$

Leider haben wir in der Schule niemals mit Menenoperationen gerechnet, daher versuche ich jetzt erst einmal ein paar Basics zus chaffen.

Zur Lösung:

1. Anwendung von Distributiv-u.-Assoziationsgesetzen
2. DeMORGANschen Regeln

$\begin{eqnarray*} (A\cup \neg A)\cap B=B \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?? Kann ich das auch so formal aufschreiben??

Für das Komplement einer Menge schreibe besser A^c oder \overline{A}. Das \neg ist für die Verneinung logischer Aussagen gedacht.

Zum Beweis deiner Gleichung musst du diese umformen und solltest dabei jeden Umformungsschritt hinschreiben.

Also zunächst, was nach der Distributivgesetz-Anwendung da steht usw.

Die Formel $\begin{eqnarray*} A \cup A^c = X \end{eqnarray*}$ kannst du so benutzen (X ist die Gesamt- bzw. Grundmenge in diesem Fall; in einer Booleschen Algebra: "das Supremum von einem Element und seinem Komplement ist das größte Element").

Grüße Abakus smile

06.02.2007, 18:48

Lazarus

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Zitat:

Original von brunsi
alle zahlen aus $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
also muss ich das hier an einem beispiel belegen???

Das ist richtig.
Dieses Beispiel diente dazu dir überhaupt mal zu veranschaulichen worums da geht.

06.02.2007, 19:03

brunsi

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das distributivgesetz habe ich rückwärts angewendet.

Fhelt also nur noch $\begin{eqnarray*} A\cup A^c=B \end{eqnarray*}$

dann wäre
$\begin{eqnarray*} (A\cup A^c)\cap B=B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B\cap B=B \end{eqnarray*}$

da der Durschnitt selbst in B liegt gilt dann: B=B?? Oder wie meint ihr das jetzt??

06.02.2007, 22:42

Abakus

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Zitat:

Original von brunsi
Fehlt also nur noch $\begin{eqnarray*} A\cup A^c=B \end{eqnarray*}$

Du meinst X statt B ? B kann ja eine beliebige Menge sein, X soll die gesamte Grundmenge sein.

Grüße Abakus smile

07.02.2007, 10:18

brunsi

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dann müsste ich aber ncoh festhalten, dass $\begin{eqnarray*} B\subset X \end{eqnarray*}$ gilt,

ansonsten weiß ich nämlich nciht, wie ich dann von der Gleichung $\begin{eqnarray*} X\cap B=B \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ schließen könnte.

07.02.2007, 10:44

piloan

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RE: Aufgabe 2 zur Mengenlehre

Zitat:

Original von Abakus

Die Formel $\begin{eqnarray*} A \cup A^c = X \end{eqnarray*}$ kannst du so benutzen (X ist die Gesamt- bzw. Grundmenge in diesem Fall; in einer Booleschen Algebra: "das Supremum von einem Element und seinem Komplement ist das größte Element").

da X die Gesamt oder Grundmenge ist , ist $\begin{eqnarray*} A,B\subset X \end{eqnarray*}$ eine Voraussetzung .

Gruß smile

07.02.2007, 11:26

brunsi

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RE: Aufgabe 2 zur Mengenlehre
Ok, danke schön.

Gruß dennis

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