Eigenwerte der Laplace-Gleichung zu finden

22.10.2012, 21:27	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte der Laplace-Gleichung zu finden Tach - Man bestimme die Eigenfunktionen $\begin{eqnarray} u: [0,L] \times [0,H] \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und Eigenwerte der Laplacegleichung mit Randbedingung. $\begin{eqnarray} -\Delta u = \lambdau \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u(x_1,0)=u(x_1,H)=u(0,x_2)=u(L,x_2) \end{eqnarray}$ - Wenn ich $\begin{eqnarray} \sin(\sqrt{\lambda}x) \end{eqnarray}$ zweimal ableite, kriege ich die Laplacegleichung. Also habe ich als Lösung folgende Linearkombination herausgefunden: $\begin{eqnarray} u(x_1,x_2)=asin(\sqrt{\lambda}x_1)+bsin(\sqrt{\lambda}x_2) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a+b=1, a \ge 0 , b \ge 0 \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} \lambda = \sqrt{\frac{k\pi}{L}} \end{eqnarray}$ gelten für ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} \lambda = \sqrt{\frac{k\pi}{H} } \end{eqnarray}$ gelten für ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ () Ich kann zeigen, dass diese Funktionen Lösung sind. Sind das alle Lösungen? Sind () die Eigenwerte dieser "Gleichung"? Ich habe nämlich noch $\begin{eqnarray} \sin(\sqrt{\frac{\lambda}{2}}x_1)+\sin(\sqrt{\frac{\lambda}{2}}x_2) \end{eqnarray}$ ....das ist auch eine Lösung Grüsse

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