Cauchysche Integralformel

22.10.2012, 21:54

XHotSniperX

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Cauchysche Integralformel

Meine Frage:
Hallöschen Jungs und Mädels Augenzwinkern

Augenzwinkern

Berechnen Sie mithilfe der Cauchyschen Integralformel die folgenden Wegintegrale:

(a) $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma _{k}} \! \frac{z^2+3z}{z-2} \, dz \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \gamma _{1}(t)=2+e^{it} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in [0,2\pi ] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma _{2}(t)=i+3e^{it} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in [0,4\pi ] \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Cauchyformel: $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{f(z)}{z-z_{0} } \, dz =2\pi i\cdot f(z_0) \end{eqnarray*}$

Beim ersten Weg habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma _{1}} \! \frac{z^2+3z}{z-2} \, dz = \int_{\gamma _{1}} \! \frac{(z-2)^2+7(z-2)+10}{z-2} \, dz = \int_{\gamma _{1}} \! (z-2) \, dz + \int_{\gamma _{1}} \! 7 \, dz +\int_{\gamma _{1}} \! \frac{10}{z-2} \, dz =20\pi i \end{eqnarray*}$

Die ersten beiden Wegintegrale verschwinden, weil geschlossener Weg + holomorph und das letzte Wegintegral hat die Form der Cauchyformel.

Ich hab noch Fragen zu dem hier, bevor wir zum 2. Weg gehen:

1. Wie hab ich hier die Information des Weges benutzt? Habe ich nämlich nicht.

2. Hätte man nicht auch direkt $\begin{eqnarray*} f(z)=z^2+3z \end{eqnarray*}$ nehmen können? Wie müsste man da dann vorgehen?

Jetzt zum 2. Weg:

Ich habe keine Ahnung, was ich hier nun anders machen muss smile

smile

Danke für eure Hilfe!

22.10.2012, 22:04

RavenOnJ

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Beide Wege laufen um die Polstelle in derselben Richtung herum, also muss sich beidesmal dasselbe ergeben. Es kommt nur darauf an, was an der Stelle z = 2 im Zähler des Integranden steht.

Edit: Hab gerade gesehen, dass du im 2. Fall zweimal drum rum fährst, also muss es das Doppelte des 1. Ergebnisses ergeben.

Zu 2.): Setze den Wert der Polstelle (hier 2) in den Zähler ein und multipliziere mit $\begin{align*} 2\pi i \end{align*}$ . (-> Residuensatz)

Gruß
Peter

22.10.2012, 22:13

Che Netzer

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RE: Cauchysche Integralformel
Zu 1.: Ja, so ginge es auch schneller.

Zum Weg: Den bringst du nur insofern ein, dass du darauf achten musst, welche Singularitäten davon umschlossen werden.
Das interessante an der Cauchy-Formel ist ja gerade, dass der konkret gewählte Weg egal ist, solange er die entsprechende Singularität genau einmal positiv umläuft.

@RavenOnJ: Nein, beim zweiten Weg ergibt sich etwas anderes Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Habe deinen Edit jetzt erst gesehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2012, 22:14

RavenOnJ

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RE: Cauchysche Integralformel

Zitat:

Edit: Habe deinen Edit jetzt erst gesehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

hatte ich schon gerade gesehen und verbessert Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gruß
Peter

22.10.2012, 22:17

XHotSniperX

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Aber muss man nicht irgendwie aufpassen, dass z in der Kreisscheibe liegt und dann war da noch ein Abstand... Mein z0 ist ja 2. Beim ersten Weg ist das der Mittelpunkt der Kreisscheibe oder? Beim zweiten nicht.. spielt das ne Rolle? Bin bisschen verwirrt.

Edit:
was is ne Singularität? der Mittelpunkt der Kreisscheibe?

Und Raven was meinste mit setze 2 in den Zähler?

22.10.2012, 22:22

RavenOnJ

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na ja, guck mal, wo der zweite Weg lang führt. Wegen Pythagoras (3^2 > 1^2 + 2^2) kannst du erkennen, dass auch der zweite Weg um den Pol herumführt.

Gruß
Peter

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22.10.2012, 22:25

XHotSniperX

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Also zuerst mal Wörterdeklaration xD

ist Pol=Singularität=Mittelpunkt der Kreisscheibe? Sprich beim ersten Weg ist das der Punkt 2 und beim 2. der Punkt i?

22.10.2012, 22:26

RavenOnJ

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Singularitäten gibt es dort, wo der Nenner des Integranden 0 ergibt. Dort ist die Funktion nicht definiert. Diese Singularitäten bestimmen den Wert des Integrals - solange der Integrationsweg um sie herum führt.

Setz doch einfach mal 2 in den Zähler z^2 + 3z ein und du siehst, dass das 10 ergibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gruß
Peter

22.10.2012, 22:36

XHotSniperX

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Aaaaachhhh du meinst das mit dem Einsetzen. Hehe ja das hab ich von Anfang an bereits gesehen smile

smile

War unnötig das zu trennen.

Also Singularitäten hatte ich noch nicht. Heisst das, dass eigentlich nur Integranden mit Singularität in Frage kommen und alle anderen Integrale sind automatisch = 0, weil sie nicht die Cauchyform haben?

Und zum 2. Weg: Rechnerisch ändert sich nichts also. Ich muss nur sagen doppelt, wegen 2 mal rundherumfahren und der Weg ändert nichts, da auch dort die Singularität drinnen ist oder?

Edit::

Was wäre, wenn beim zweiten Weg die 3 nicht stünde? Dann ist die Polstelle/Singularität ausserhalb des Weges/der Kreisscheibe.

22.10.2012, 23:38

RavenOnJ

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wenn da eine 2 statt einer 3 stünde, würde sich die Polstelle außerhalb des Weges befinden und das Integral wäre 0. Interessant wäre natürlich der Fall, dass der Weg über die Polstelle läuft Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gruß
Peter

23.10.2012, 15:54

XHotSniperX

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Ok gut dann schauen wir 2 weitere an:

(b) $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{e^{z} }{z^2} \, dz \textrm{ , wobei } \gamma (t)=i+\frac{1}{2}e^{it} \textrm{ für } t\in [0,4\pi ] \end{eqnarray*}$

Die Polstelle ist ja bei $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ aber da sie ausserhalb des Weges ist mach ich:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{e^{z} }{z^2} \, dz =\int_\gamma \! \frac{f(z) }{z-0} \, dz=0 \end{eqnarray*}$

(c) $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{e^{5z} }{(z-1)^2} \, dz \textrm{ , wobei } \gamma (t)=3e^{it} \textrm{ für } t\in [0,2\pi ] \end{eqnarray*}$

Hier ist die Polstelle $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ und innerhalb des Weges, also:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{e^{5z} }{(z-1)^2} \, dz = \int_\gamma \! \frac{f(z) }{z-1} \, dz=2\pi i \cdot f(1)=2\pi i \cdot e^5 \end{eqnarray*}$

Ist wahrscheinlich alles falsch, da ich nie wirklich die Cauchyform herleite....

23.10.2012, 16:53

XHotSniperX

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Oder so:

z.B. bei (b) nehme ich f(z)=e^z/z. Dann bekomme ich genau das, was ich oben geschrieben habe. Aber wenn ich nun f(0) rechne dann gibts was durch 0 und das ist verboten. Hier geht das nicht mehr so toll, wie bei (a) hmmmmmmm

Edit:

Ah ich könnte natürlich die allgemeine Cauchyformel benutzen:

dann bekomme ich bei (b) zwar 2"pi"i aber da ja die Polstelle ausserhalb der Kreisscheibe ist, gibt es trotzdem 0 odeR?

und bei (c) bekomme ich mit der allgemeinen Formel 10"pi"ie^5

23.10.2012, 17:08

Che Netzer

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Du übersiehst, dass ein Quadrat im Nenner steht bzw. dass die Polstellen doppelte sind.
Woher kommen denn die Aufgaben? Sollt ihr für die wirklich die Cauchysche Integralformel benutzen?

Würde bei der c) z.B. kein Quadrat im Nenner sein, hättest du das aber richtig gerechnet. Du hättest nur definieren sollen, was $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ist.

Die b) hast du auch relativ richtig gerechnet; die Idee ist aber, dass der gesamte Integrand im von der Kurve umlaufenen Gebiet holomorph ist.
Deine Idee aus dem zweiten Beitrag ergibt keinen Sinn; die bringt die Polstelle ja nicht in den betrachteten Kreis.
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{\mathrm e^z}z \end{eqnarray*}$ dürftest du aber auch dann nicht wählen, wenn Null von der Kurve umlaufen wird; das ist dann keine holomorphe Funktion.

23.10.2012, 17:13

XHotSniperX

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Ok und was hältst du von meinem Edit?

23.10.2012, 17:20

Che Netzer

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Welche allgemeine Formel meinst du bzw. wie hast du die c) gerechnet?
Mit dem Residuensatz?

Bei der b) kommt Null heraus, ja.

23.10.2012, 17:29

XHotSniperX

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verallgemeinerte Cauchyformel: $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(z_{0} )= \frac{n!}{2\pi i} \cdot \int_\gamma \! \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \, dz \end{eqnarray*}$

Jetzt wähle ich: $\begin{eqnarray*} f(z)=e^{5z}\textrm{ und hier ist noch } z_0=1 \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich $\begin{eqnarray*} 10\pi i\cdot e^5 \end{eqnarray*}$

23.10.2012, 17:55

Che Netzer

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Ah, gut, die Formel meinst du. Ja, die müsstest du hier anwenden.
Sieht richtig aus.

23.10.2012, 17:57

XHotSniperX

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Wenn das da oben stimmt, möchte ich als letztes diese Aufgabe anschauen (Anhang).

Hier gibt es 2 Polstellen, die im Gebiet sein können aber auch nicht und gemischt.

Beim ersten Weg ist die Stelle -1 drin und die Stelle 3 nicht. Wie muss ich nun f(z) wählen? Muss f(z) holomorph sein im Gebiet? Eigentlich ja oder? Dann muss ich also für f(z) das nehmen, wo die Polstelle ausserhalb von G liegt oder? Muss aber nicht der Integrand auch holomoprh sein im Gebiet G?

23.10.2012, 18:04

Che Netzer

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Der Integrand muss nicht holomorph sein. Wäre er das, wäre das Integral Null. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dagegen muss holomorph sein.
Für neue Aufgaben eröffne aber besser ein neues Thema.

23.10.2012, 18:19

XHotSniperX

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ach ja stimmt danke smile

smile

also mit f muss holomorph sein meinst du, dass f überall holomorph sein muss oder im Gebiet (Kreisscheibe)?

23.10.2012, 19:05

Che Netzer

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Ja, innerhalb des umschlossenen Gebietes. Bzw. alle Stellen, an denen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht holomorph ist, liegen "außerhalb" des Integrationsweges.

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