Mengenlehre (kartesisches Kreuzprodukt, Abbildungen)

22.10.2012, 22:20

Sasu132

Mengenlehre (kartesisches Kreuzprodukt, Abbildungen)

Meine Frage:
Hallo smile

ich habe gerade mit dem Studium angefangen, bin also noch ganz neu im Unileben und muss mich darin erstmal zurechtfinden.
Da wir so einige grundlegende Themen aus den Vorlesungen nicht in der Schule hatten (z.B. Beweise, Mengenlehre usw.), musste ich mir das Werkzeug (z.B. Beweise führen) zur Lösung meiner Übungsaufgaben selbst aneignen - das war zwar sehr mühselig, aber bisher immer erfolgreich smile

Nun haben wir auf einem Übungsblatt der Analysis 1 eine Aufgabe bekommen, zu der ich zwar eine Idee habe, jedoch nicht wirklich weiß, wie ich das schriftlich aufschreiben kann.

Hier mal die Aufgabe:

Seien A und B Mengen und sei $\begin{eqnarray*} C \subset A x B \end{eqnarray*}$ . Gibt es dann immer Mengen $\begin{eqnarray*} A' \subset A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B' \subset B \end{eqnarray*}$ , sodass C = A' x B' gilt?

Vielleicht könnt ihr mir ja einen Tipp geben Augenzwinkern

Ich würde mich sehr über Antworten freuen!

Viele Grüße

Meine Ideen:
So, nun zu meine Ideen smile

Zu beweisen ist: C = A' x B', wenn gilt: A' ist Teilmenge von A und B' Teilmenge von B.

Das heißt $\begin{eqnarray*} \forall x \in C \exists x \in \end{eqnarray*}$ A' x B'. Genauer gesagt, muss $\begin{eqnarray*} x \in C = x \in \end{eqnarray*}$ A' x B'.

Vorstellen kann man sich das ja in einem Koordinatensytem (x-Achse entspricht A und y-Achse B). D.h. man kann sich ein Rechteck in dem Koordinatensystem vorstellen, deren Inhalt A x B ist. A' x B' ist demnach ein kleineres Rechteck in A x B, da A' in A und B' in B enthalten sein muss.

Jetzt möchte ich gerne durch einen indirekten Beweis (Kontraposition) beweisen, dass es in der Menge C ein x gibt, dass nicht in A' x B' enthalten ist, also quasi einen Widerspruch zu der Behauptung C = A' x B' finden.

Das sieht dann meine ich so aus: $\begin{eqnarray*} x \in C \neq x \in \end{eqnarray*}$ A' x B'.

Nun weiß ich nicht genau wie ich den Beweis weiterführen soll. Vielleicht könnt ihr mir ja da weiterhelfen.

22.10.2012, 22:33

RavenOnJ

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Du kannst deine Menge C anders konstruieren und dann gilt die Behauptung nicht. Nimm z.B. (in deinem Beispiel zur Visualisierung) statt eines Rechtecks für C einen Kreis innerhalb des großen Rechtecks.

Gruß
Peter

22.10.2012, 22:48

Sasu132

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Und wie schreibe ich das dann auf? Ich muss ja einen Beweis formulieren.

Klar, wenn man C als Kreis annimmt, dann gibt es viele x die in C, aber nicht in A' x B' enthalten sind.

Aber unsere Professorin ist da so streng, ich glaube nicht das die das akzeptieren würde Big Laugh

22.10.2012, 23:35

RavenOnJ

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das ist mir klar, war auch nur als Beispiel gedacht. Du könntest ja auch ein Gegenbeispiel analytisch konstruieren, damit wäre die Behauptung dann widerlegt.

Gruß
Peter

23.10.2012, 08:25

Sasu132

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wie meinst du das???

23.10.2012, 08:47

RavenOnJ

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RE: Mengenlehre(kartesisches Kreuzprodukt, Abbildungen)

Zitat:

Original von Sasu132

Seien A und B Mengen und sei $\begin{eqnarray*} C \subset A x B \end{eqnarray*}$ . Gibt es dann immer Mengen $\begin{eqnarray*} A' \subset A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B' \subset B \end{eqnarray*}$ , sodass C = A' x B' gilt?

Die Behauptung ist: Es gibt immer Mengen $\begin{eqnarray*} A' \subset A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B' \subset B \end{eqnarray*}$ , sodass C = A' x B' gilt. Dies gilt es zu widerlegen und da dort 'immer' steht, reicht ein einziges Gegenbeispiel. Man kann ein einfaches konstruieren mit je zwei Elementen aus A und B.

Gruß
Peter

23.10.2012, 09:03

Sasu132

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aso....also muss ich ein Gegenbeispiel (z.B. wenn C größer als A' x B' ist) suchen, bei dem x in C aber nicht in A' x B' liegt.

Also theoretisch verstehen tue ich das, nur weiß ich praktisch nicht genau wie ich dieses Gegenbeispiel formulieren soll.

Wir suchen ein $\begin{eqnarray*} x \in C \wedge nicht \in A' x B' \end{eqnarray*}$ .

und weiter??? (weiß nicht wie ich das aufschreiben soll) unglücklich

23.10.2012, 09:05

Sasu132

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oder aber A' x B' ist nicht Teilmenge von A x B

oder?

nur so aufschreiben kann ich das ja nicht?!?! das muss ich ja irgendwie in mathematische Formeln packen...könntest du mir mal aufschreiben, wie man das richtig macht?

23.10.2012, 09:35

RavenOnJ

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Aber du weißt gar nicht im vorhinein, was die Mengen A' und B' sein könnten. Es geht doch nur um die Frage der Existenz solcher Mengen bzw. deren Produkt. Wenn du ein Gegenbeispiel konstruieren kannst, dass es solche Mengen A' und B' nicht gibt, deren Produkt C ergibt, dann reicht das. Das ist ein übliches Beweisverfahren. Da braucht man keine Formeln. [Man kann das Ergebnis natürlich formalisieren mit Quantoren etc.: $\begin{align*} \cdots \Rightarrow \exists C , \nexists A'\subset A,\nexists B'\subset B \text{ mit } C=A'\times B' \end{align*}$ ]

Ich möchte dir jetzt nicht eine Gegenbeispiel konstruieren, nur als Tipp: nimm als Teilmengen A', B' zwei disjunkte Mengen, die aus je zwei Elementen bestehen, und bilde dann ein C, das kein Produkt von A' und B' ist. Dann zeige, dass es auch keine anderen Teilmengen A'', B'' gibt, deren Produkt C ergibt.

Im Übrigen: Wenn $\begin{align*} A'\subset A \land B' \subset B \end{align*}$ , dann folgt daraus immer $\begin{align*} A'\times B' \subset A\times B \end{align*}$

Gruß
Peter

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