Ableitung von Funktionen 9

22.10.2012, 22:25

Tipso

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Ableitung von Funktionen 9

Hallo,

Hier die vorerst vorletzte Aufgabe die mir Sorgenfalten bereitet:

Bilde die Ableitungsfunktion und vergleiche:

(1)

$\begin{eqnarray*} y = sin x^3 \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} y = sin^3 x \end{eqnarray*}$

Lösugnsvorschläge:

(1)
$\begin{eqnarray*} y = sin x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 3x * (sin) * cos x \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} 3 * sin^2 * cosx \end{eqnarray*}$

lg

22.10.2012, 22:34

Equester

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Beachte bitte bei so feinen Unterschieden die Klammersetzung. Sie ist da
sehr hilfreich:
$\begin{eqnarray*} sin(x^3) \end{eqnarray*}$

Zur (1): Ich bitte dich hiermal, nochmals zu überlegen.

Zur (2): Wo ist das x von dem Sinus hin? Sinus ist eine Funktion die auf etwas
angewendet wird. Bei dir ist das nicht der Fall.
Sonst aber richtig: $\begin{eqnarray*} y'=3 * sin(x)^2 * cosx \end{eqnarray*}$

22.10.2012, 23:11

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
Beachte bitte bei so feinen Unterschieden die Klammersetzung. Sie ist da
sehr hilfreich:
$\begin{eqnarray*} sin(x^3) \end{eqnarray*}$

Zur (1): Ich bitte dich hiermal, nochmals zu überlegen.

$\begin{eqnarray*} sinx^3 = sin (x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = sin x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = sin (x^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3x^2 *(sinx) * cosx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zur (2): Wo ist das x von dem Sinus hin? Sinus ist eine Funktion die auf etwas
angewendet wird. Bei dir ist das nicht der Fall.
Sonst aber richtig: $\begin{eqnarray*} y'=3 * sin(x)^2 * cosx \end{eqnarray*}$

Was ich nicht verstehe ist warum $\begin{eqnarray*} sin^3x \end{eqnarray*}$ das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} (sinx)^3 \end{eqnarray*}$ ist.

lg

22.10.2012, 23:18

Equester

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Sieht doch gleich viel besser aus. Und das fehlende Quadrat ist auch da Freude

Freude

.
Nun hast du allerdings ein sin und einen cos.
Dabei heißt ist der Sinus doch Linear vorhanden!
-> $\begin{eqnarray*} y' = 3x^2 * cosx \end{eqnarray*}$

Ein Fehler ist noch drin. Du erinnerst dich an meinen Satz mit dem "niemals"? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Was ich nicht verstehe ist warum $\begin{eqnarray*} sin^3x \end{eqnarray*}$ das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} (sinx)^3 \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist nur eine andere Notation. Nimm diejenige, die für dich übersichtlicher ist.

22.10.2012, 23:27

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
Sieht doch gleich viel besser aus. Und das fehlende Quadrat ist auch da Freude

Freude

.
Nun hast du allerdings ein sin und einen cos.
Dabei heißt ist der Sinus doch Linear vorhanden!
-> $\begin{eqnarray*} y' = 3x^2 * cosx \end{eqnarray*}$

Ein Fehler ist noch drin. Du erinnerst dich an meinen Satz mit dem "niemals"? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider nicht, niemals einen summanten mitaddieren? x)

lg

22.10.2012, 23:29

Equester

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Hab ich das gesagt verwirrt

verwirrt

. Zumal ich Summand gesagt hätte^^.

Ich sprach von dem Zitat aus dem anderen Thread:

Zitat:

Original von Equester
1. Das Argument des Sinus/Cosinus/Tangens ändert sich beim Ableiten/Integrieren niemals!

Dein Fehler liegt also wo?

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22.10.2012, 23:39

Tipso

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Ich würde dies echt gerne abschließen bevor ich schlafen gehe smile

smile

Ich leite sinx^3 ab.

Dabei ist x^3 die äußere und sinx die innere Ableitung.
Abgeleitet wird mit der kettenregel.

x^3 = 3x^2

sinx = cosx

nun jetzt bleibt aber noch sinx.

Hier verstehe ich es immer noch nicht, obwohl du mir diesen Tipp gibst:

1. Das Argument des Sinus/Cosinus/Tangens ändert sich beim Ableiten/Integrieren niemals!

Bitte um ein anschauliches Beispiel.

lg

22.10.2012, 23:44

Equester

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Ja, das ist richtig...

x^3 = 3x^2

sinx = cosx

(Wobei die Gleichheitszeichen natürlich nicht passen).

Also doch 3x²cos(x).

Beachten wir aber nun folgendes. sin(x³)=sin(u) -> u=x³
Also
u'*cos(u) für die Ableitung mit der Hilfe u. Setzen wir u (und u') wieder ein:

3x²*cos(x³)

Du siehst das Problem? -> x³ bleibt x³ im Argument.
Du kannst nachvollziehen, was das mit der Substitution u=x³ auf sich hat?
Das habt ihr sicher so schon mal gehabt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

22.10.2012, 23:51

Tipso

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Handelt es sich nicht um die kettenregel?

Ich verstehe es nicht, warum sinx nicht bleibt. Es heißt ja die Funktion vom äußeren Glied mal dem inneren Glied mal die Funktion vom inneren Glied.

Wir haben den 2 Schritt quasi ausgelassen.

22.10.2012, 23:56

Equester

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Es heißt "Äußere Ableitung mal innere Ableitung" und ist genau das, was wir gemacht haben, oder nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Es heißt ja die Funktion vom äußeren Glied mal dem inneren Glied mal die Funktion vom inneren Glied.

Zumindest dem Text nach beachtest du hier nicht die Ableitungen...
und hast zweimal das innere Glied verwirrt

verwirrt

.

23.10.2012, 00:18

Tipso

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Beispiel:

(3x)^5

^5 = äußeres Glied

3x = inneres Glied

Ableitung

5 * (3x)^4

Äußeres Glied Ableiten, inneres Glied bleibt.

und jetzt mal die Ableitung des inneren Gliedes.

5*(3x)^4 * 3

In unserem Beispiel hier fehlt mir (3x) = sinx

lg

23.10.2012, 06:30

Equester

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Veanschauliche es dir so:
sin(x)=u

-> Nach Potenzregel ableiten u'=1.
Der Sinus fällt also weg, da dieser nur die Potenz 1 hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

23.10.2012, 10:35

Tipso

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Aber, die Ableitung von cosx = -sinx bzw. von sinx = cosx und nicht 1..?

lg

23.10.2012, 11:30

Equester

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Ja, das ist richtig.
Deswegen war die Substitution nur dazu da um dir zu zeigen,
dass du bei der Ableitung vom Sinus keinen Sinus mehr stehen hast, da die Potenz einfach 1
ist und nach der "normalen" Ableitungsregel das dann verschwindet.

(sin(x))'=cos(x)

(sin(x)^2)'=2sin(x)cos(x)

Wobei man bei letzterem so vorgeht: sin(x)=u -> (u^2)'=2u=2sin(x)
und dann eben noch die innere Ableitung (sin(x))'=cos(x) zu beachten hat.

Nun klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2012, 14:10

Tipso

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Immer noch nicht ganz:

Tut mir leid.

also:

sinx^3 die Ableitung = 3x^2 statt 3*(sinx)^2

Das sin wird nicht mitgeschrieben und genau das macht mir die Sorgenfalten.

lg

23.10.2012, 15:35

Equester

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Beides falsch :P.

Wir haben den sin(x³). Also der Sinus kommt nur linear vor.
D.h. wir haben später nur dessen Ableitung -> cos.
Anders ist es, wenn der Sinus in höherer Potenz vorkommt, dann erniedrigt sich
dessen Potenz um 1.

Dann natürlich noch die innere Ableitung betrachtet haben wir also:
(sin(x³))'=3x²cos(x³)

Ok? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2012, 15:44

Tipso

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RE: Ableitung von Funktionen 9
Hi,

Leider bin ich immer noch nicht in der Lage zu verstehen:

ich verstehe das die Äußere (x^3) und daher = 3x^2 ist, die Innere wäre demnach x, also die bleibt stehen.

Dann wird sinx^3 zu cosx^3 aber wir haben x^3 schon abgeleitet.

2.
Wo ist nun der Unterschied zwischen den beiden?
(1)

$\begin{eqnarray*} y = sin x^3 \end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} y = sin^3 x \end{eqnarray*}$

lg

Ps.
Ich mache ein paar Tage Pause und sehe es mir dann noch einmal an, vll. ist dann alles klarer.

23.10.2012, 15:51

Equester

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Also deine oberen Zeilen könnten richtig gemeint sein verwirrt

verwirrt

Augenzwinkern

.

Ich schreibs nochmals hin und du schaust dirs nochmals an. Kannst dir gerne ein
paar Tage Zeit lassen.

y=sin(x³)
y'=3x²cos(x³)

Dabei kann man das für einen Moment als sin(u) behandeln (was in der Ableitung
cos(u) bedeutet) und man sich dann noch an die innere Ableitung 3x² erinnert.

y=sin³(x)
y'=3sin²(x)*cos(x)

Dabei kann man das für einen Moment als u³ behandeln (was in der Ableitung 3u²
bedeutet) und man sich dann noch an die innere Ableitung cos(x) erinnert.

Wink

Wink

13.11.2012, 16:26

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
Beides falsch :P.

Wir haben den sin(x³). Also der Sinus kommt nur linear vor.
D.h. wir haben später nur dessen Ableitung -> cos.
Anders ist es, wenn der Sinus in höherer Potenz vorkommt, dann erniedrigt sich
dessen Potenz um 1.

Dann natürlich noch die innere Ableitung betrachtet haben wir also:
(sin(x³))'=3x²cos(x³)

Ok? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe nun meinen Fehler gefunden.

Der Sinus kommt nur Linear vor bedeutet?
lg

13.11.2012, 16:33

Equester

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Linear bedeutet in erster Potenz. Wir haben also ein ^1. Oder eben meistens gar nichts.

13.11.2012, 21:37

Tipso

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Ich wundere mich dennoch, dass dieser in der 1Potenz verschwindet.

Gibt es dafür auch einen Grund?

lg

Linear - 1Potenz also x^1
Muss ich mir merken.

13.11.2012, 21:45

Equester

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Deine letzte Zeilen passen.

Ersteres verstehe ich aber wiederum nicht.

13.11.2012, 21:53

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
Ich wundere mich dennoch, dass dieser in der 1Potenz verschwindet.

Gibt es dafür auch einen Grund?

Ich verstehe nicht warum sin in der linearen From verschwindet und nur dessen Ableitung über bleibt. Es ist doch sehr ungewöhnlich?
Wird dies irgendwie begründet?

lg

13.11.2012, 22:02

Equester

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Du kennst doch die "Potenzregel"?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Und x^0=1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Reicht das schon?

13.11.2012, 22:04

Tipso

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JA.

Wenn du noch weiter ausführen willst, bitte. Ich bin offen und interessiert.

lg Freude

Freude

13.11.2012, 22:15

Equester

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Na wenn dir das schon reicht, brauche ichs ja nicht weiters ausführen smile

smile

.
Dann kannst es eigentlich du mir zeigen, ob du verstanden hast.

13.11.2012, 22:31

Tipso

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Zitat:

Original von Equester

y=sin(x³)
y'=3x²cos(x³)

Es geht um diesen Teil.

Warum verschwindet sin?

Ausgerechnet:

y=sin(x³)

y'= 3x^2 * cos(x^3)

Hmm, Es gibt kein sin^0 hier X)

hmmmm

13.11.2012, 22:42

Equester

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$\begin{eqnarray*} sin^1(x^3) \end{eqnarray*}$ haben wir doch hier Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

13.11.2012, 23:04

Tipso

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y=sin(x³)

y'= 3x^2 * cos(x^3)

Müssten wir dann nicht die Produkregel bilden, wenn wir sin^1 hier haben?

y'= 3(1sin^0)x^2 * cos(x^3)

so vielleicht?

Wie soll ich es mir sonst vorstellen?

lg

Ps.
Morgen mache ich weiter.

13.11.2012, 23:14

Equester

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Vielmehr die Kettenregel als Produktregel. Oder hast du hier eine Multiplikationszeichen gesehen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übrigens nicht sin^0, sondern sin^0(x³)

14.11.2012, 00:21

Tipso

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hi,

äußere wäre x^2

innere sinx aber doch nicht sin^1x

oder?

lg

14.11.2012, 06:23

Equester

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x²? Wo haben wir hier ein x²?

Wir haben hier eine dreifach Verkettung.
Einmal u^1, dann sin(v) und v=x³.

Das u wird aber eigentlich immer weggelassen, da in diesem Falle trivial. Bei sin²(x³) braucht mans
aber zum Beispiel.

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