Lösung der d'Alembert Formel

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23.10.2012, 11:23	bloodybeginner12	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung der d'Alembert Formel Meine Frage: Ich muss die Lösung für die Wellengleichung herleiten.. Habe im internet auch lösungen dazu gefunden :S..verstehe die aber nicht so ganz.Meine frage ist eigentlich sehr banal aber ich bin anfänger und verstehe das nicht so ganz Meine Ideen: Es gilt ja: $\begin{eqnarray} u_{xx} = c^{2}u_{tt} \end{eqnarray}$ Und jetzt soll man eine Substitution durchführen: $\begin{eqnarray} <br /> \beta = x -ct<br /> \alpha = c + ct<br /> \end{eqnarray}$ nach umformen gilt das x und t : $\begin{eqnarray} <br /> x = \frac{\beta + \alpha }{2} <br /> t = \frac{\beta - \alpha }{2c} <br /> \end{eqnarray}$ Und jetzt soll man die jeweiligen partiellen ableitungen bestimmen? Aber wie kommt man denn auf die Lösung z.B.: $\begin{eqnarray} <br /> u_{t} = -cu_{\beta} + cu_{\alpha } <br /> <br /> oder auf:<br /> u_{x} = u_{\beta } + u_{\alpha } <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Was wurde da genau gemacht? Ich kann partiell ableiten, aber mir ist nicht so klar, was hier gemacht wurde :S?
23.10.2012, 15:00	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist $\begin{eqnarray} c^2u_{xx}=u_{tt} \end{eqnarray}$ (Du hast den Faktor c² auf die falsche Seite geschrieben!) Man macht eine Variablensubstitution $\begin{eqnarray} u(x,t)=v(\underbrace{x+ct}_{\beta},\underbrace{x-ct}_{\alpha}) \end{eqnarray}$ und bildet die 1. und 2.Ableitungen nach x bzw. t mittels Kettenregel: $\begin{eqnarray} u_x=\tfrac{\partial u}{\partial x}=\tfrac{\partial v}{\partial \beta}\tfrac{\partial \beta}{x}+\tfrac{\partial v}{\partial \alpha}\tfrac{\partial \alpha}{x}=v_{\beta}+v_{\alpha} \end{eqnarray}$ Nochmaligs Ableiten ergibt $\begin{eqnarray} u_{xx}=\tfrac{\partial }{\partial x}\left ( \tfrac{\partial u}{\partial x}\right )=\tfrac{\partial} {\partial x}\left ( v_{\beta}+v_{\alpha}\right )=\tfrac{\partial} {\partial x}\left ( v_{\beta}\right )+\tfrac{\partial} {\partial x}\left ( v_{\alpha}\right )=v_{\beta\beta}+v_{\alpha\beta}\,\,\,+\,\,\,v_{\beta\alpha}+v_{\alpha\alpha} \end{eqnarray}$ Eine analoge Rechnung mittels Kettenregel macht man für die 1. und 2.Ableitung nach der Zeit und erhält $\begin{eqnarray} u_t=\tfrac{\partial u}{\partial t}=\tfrac{\partial v}{\partial \beta}\tfrac{\partial \beta}{t}+\tfrac{\partial v}{\partial \alpha}\tfrac{\partial \alpha}{t}=v_{\beta}\cdot c+v_{\alpha}\cdot (-c)=cv_{\beta}-cv_{\alpha} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{tt}=\tfrac{\partial }{\partial t}\left ( \tfrac{\partial u}{\partial t}\right )=\tfrac{\partial} {\partial t}\left ( cv_{\beta}-cv_{\alpha}\right )=c\tfrac{\partial} {\partial t}\left ( v_{\beta} \right )-\tfrac{\partial }{\partial t} \left ( v_{\alpha} \right )=c^2v_{\beta\beta}-c^2v_{\alpha\beta}-c^2v_{\beta\alpha}+c^2v_{\alpha\alpha} \end{eqnarray}$ Setzt man die 2.Ableitungen $\begin{eqnarray} u_{xx} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_{tt} \end{eqnarray}$ in die Dgl. ein, fallen die "reinen" Ableitungen $\begin{eqnarray} u_{\alpha \alpha} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{\beta \beta} \end{eqnarray}$ heraus. Übrig bleiben die gemischten Ableitungen $\begin{eqnarray} v_{\alpha\beta}=v_{\beta\alpha} \end{eqnarray}$ . Man erhält die Dgl. für die Funktion $\begin{eqnarray} v(\alpha,\beta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=v_{\alpha\beta} \end{eqnarray}$ Offenbar gehen in diese Dgl. beide Variablen $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ symmetrisch ein. Demnach ist für jede Lösung $\begin{eqnarray} v(\alpha)=v(x-ct) \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} v(\beta)=v(x+ct) \end{eqnarray}$ eine Lösung. Physikalisch bedeutet das, dass die Welle in postive und negative Richtung laufen kann (wie z.B. die Welle entlang eines gespannten Seiles, wenn man diesem einen lokalen Stoß versetzt hat). Die Größe c ist die Geschwindigkeit des "Wellenberges" in beide Richtungen.
23.10.2012, 16:09	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaa alles klar, das mit dem partiell ableiten war mir nicht ganz klar. Aber jetzt sehe ich es! Vielen dank!
23.10.2012, 16:15	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber noch eine Frage haette ich dazu, nach meinem Skript gilt das: $\begin{eqnarray} <br /> u(x, t) = v(x+ct) +f(x-ct)<br /> \end{eqnarray}$ wieso kann man einfach x und t durch x+ct ersetzen und dann eine subsdtituion durchfuehren?
23.10.2012, 16:27	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Ou gerade merke ich, es ist mir doch nix klar . bei deinerr ersten ableitung, verstehe ich nicht, was da genau gemacht wird?? U muss ja nach x abgeleitet werden, un dkettenregel ist ja innere * aeussere ableitung, aber verstehe echt nicht wie du auf: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \frac{\delta_{u}}{\delta_{x}} = \frac{\delta_{v}}{\delta_{\beta }} \frac{\delta_{\beta }}{x} + \frac{\delta_{v}}{\delta_{\alpha}} \frac{\delta_{\alpha }}{x} <br /> <br /> \end{eqnarray}$
23.10.2012, 16:36	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ursprünglich hatten wir die Dgl. $\begin{eqnarray} ^2u_{xx}=u_{tt} \end{eqnarray}$ mit der gesuchten Lösung u(x,t). Nach der Variablensubstitution haben wir eine neue Dgl. $\begin{eqnarray} 0=v_{\alpha \beta}(\alpha, \beta) \end{eqnarray}$ mit den beiden Lösungen $\begin{eqnarray} v_1(\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2(\beta) \end{eqnarray}$ . Mit deiner speziellen Substitution lauten die neuen Variablen $\begin{eqnarray} \alpha=x-ct \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta=x+ct \end{eqnarray}$ . Deshalb lautet die Lösung also $\begin{eqnarray} v_1(\underbrace{x-ct}_{\alpha}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2(\underbrace{x+ct}_{/beta}) \end{eqnarray}$ . Aus physikalischer Sicht hat sich mit der Substitution natürlich nichts geändert. Weil die Dgl. linear ist, sind alle Linearkombinationen $\begin{eqnarray} C_1v_1(\alpha) + C_2v_2(\beta) \end{eqnarray}$ ebenfalls Lösungen. Eventuell gibt es noch weitere Lösungen - je nach Anfangs- und Randbedingung.
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23.10.2012, 17:00	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> <br /> \frac{\delta_{u} }{\delta_{x} } = \frac{\delta_{v} }{\delta_{\beta } } \frac{\delta_{\beta } }{x} + ...<br /> \end{eqnarray}$ also die Ableitung von der ganzen funktion ist quasi das erste : $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\delta_{v} }{\delta_{\beta } } <br /> \end{eqnarray}$ und wieso steht dann im zweiten term ein $\begin{eqnarray} \frac{\delta_{\beta } }{x } \end{eqnarray}$ , wo kommt das x her? und wieso ist das am ende einfach nur $\begin{eqnarray} v_{\beta } \end{eqnarray}$
23.10.2012, 18:20	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist die Ableitung: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\delta}{\delta_{x} } (v_{\beta } ) = v_{\beta \beta }<br /> <br /> \end{eqnarray}$ wenn hier nach x abgeleitet wird ??? wieso auf einmal zweite ableitung von $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$
24.10.2012, 09:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip wird nur eine Variablensubstitution $\begin{eqnarray} u(x,t)\rightarrow v(\alpha, \beta) \end{eqnarray}$ durchgeführt. Der Sinn der Sache ist eine Vereinfachng der Dgl. Ich gebe mal ein einfaches Beispiel im 1-dimensionalen Fall. Versuche dieses Beispiel nachzuvollziehen. Dann wird alles klar: Gegeben sei die eindimensionale Funktion $\begin{eqnarray} u(x)=\sin^2(x) \end{eqnarray}$ . Nach der Substitution $\begin{eqnarray} \alpha =\sin(x) \end{eqnarray}$ wird daraus eine neue, verkettete Funktion $\begin{eqnarray} u(x)=v[\alpha(x)]=\alpha^2(x) \end{eqnarray}$ . Diese neue Funktion ist also die quadratische Funktion v=(...)² mit dem Symbol v und dem Argument $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Die alte Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{du}{dx} \end{eqnarray}$ wird mit Kettenregel zu $\begin{eqnarray} \tfrac{du}{dx}=\underbrace{\tfrac{dv}{d \alpha}}_{2\alpha}\cdot \underbrace{\tfrac{d\alpha}{dx}}_{\cos(\alpha)}=2\alpha \cdot \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ Nochmaliges Ableiten liefert $\begin{eqnarray} \tfrac{d^2u}{dx^2}= \tfrac{d}{dx}\left ( \tfrac{du}{dx}\right )=\tfrac{d}{dx} \underbrace{\left [2\alpha \cdot \cos(\alpha) \right ]}_{\tfrac{du}{dx}}=\tfrac{d}{d\alpha}\underbrace{\left [ 2\alpha \cdot \cos(\alpha)\right ]}_{\tfrac{du}{dx}}\cdot \tfrac{dx}{d\alpha}=\left [2 \cos(\alpha)-2\alpha \sin(\alpha)\right ] \underbrace{\cos(\alpha)}_{\tfrac{dx}{d\alpha}}=2\cos^2(\alpha)-2\alpha \sin(\alpha)\cos(\alpha) \end{eqnarray}$
24.10.2012, 12:23	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme mir vor wie ein Idiot .. ich verstehe in der zweitej ableitung diesen schritt noch nicht: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{d}{d_{x} } \left[2\alpha \cos(\alpha ) \right] <br /> \end{eqnarray}$ wie man dann auf das naechste kommt: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{d}{d_{\alpha } } \left[2\alpha \cos(\alpha ) \right] \frac{d_{x} }{d_{\alpha } } <br /> \end{eqnarray}$ .. in der ersten ableitung wurde das V nach $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ abgeleitet und dann das $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nach x, das ist mir klar.. aber fuer mich sieht das hier nicht gleich aus.. Das ganze wird nach $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ abgeleitet, und wieso steht an letzter stelle das $\begin{eqnarray} \frac{d_{x}}{d_{\alpha } } \end{eqnarray}$ , wo kommt das her? und wieso ist das $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) \end{eqnarray}$
24.10.2012, 12:32	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
In der ersten ableitung haben wir ja diese Substitution durchgefuehrt: $\begin{eqnarray} <br /> \alpha(x) = \sin(x)<br /> \end{eqnarray}$ nach ableiten erhaelt man: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{d_{\alpha } }{d_{x} } = \cos(x)<br /> <br /> d_{\alpha}= d_{x}\cos(x) <br /> \end{eqnarray}$ bzw: $\begin{eqnarray} d_{x} = d_{\alpha } \cos(x) \end{eqnarray}$ .. wird das dann statt dx in dem ersten schritt der ersten ableitung eingesetzt :S
24.10.2012, 12:41	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
und wenn man statt $\begin{eqnarray} \cos(x) = \frac{\alpha}{{d_{x} }} \end{eqnarray}$ schreibt, muesste dann nicht in der zweiten ableitung an letzter stelle: $\begin{eqnarray} \frac{d}{d_{\alpha } } \left[2\alpha\cos(\alpha)\right] \frac{d_{\alpha } }{d_{x} } \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \frac{d_{x}}{d_{\alpha}} \end{eqnarray}$
24.10.2012, 13:05	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh an einer stelle habe ich einen fehler, aber meine frage bleibt gleich . es sollte $\begin{eqnarray} d_{\alpha } = \frac{d_{x} }{\cos(x)} \end{eqnarray}$ sein Und was ich auch noch nicht verstehe..wenn man das fuer meine aufgabe jetzt anwendet. haben wir ja die substitution gemacht: $\begin{eqnarray} <br /> \alpha = x -ct<br /> \beta = x+ct<br /> \end{eqnarray}$ wenn man das jetzt nach x ableitet, um das dx auszutauschen in dem ersten ableitungsschritt kriegt man doch einfach nur : $\begin{eqnarray} \frac{d_{\beta } }{d_{x} } = 1 ....... d_{\alpha } = d_{\beta } \end{eqnarray}$ .. ich mache wahrscheinlich etwas grundlegendes falsch
24.10.2012, 21:09	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versuche schon den ganzen tag nachzuvollziehen, wieso in der zweiten ableitung von $\begin{eqnarray} u_x \end{eqnarray}$ auf einmal das $\begin{eqnarray} v_{\alpha\beta} \end{eqnarray}$ auftaucht, also die ableitung nach alpha :S... please help!!!!!!

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