differntialgleichung exaktheit und lösung

23.10.2012, 13:43

Sarahbiene

differntialgleichung exaktheit und lösung

Meine Frage:
Hallo,

ich habe die DGL

(2x/y - y²/x²)dx + (2y/x -x²/y²)dy=0

Meine Ideen:
Ich komme leider mit DGLS garnicht zurecht und hab das auch noch nie großartig gemacht.

Ich hab mir die definition für exaktheit durchgelesen, aber ich versteh nicht genau was das bedeutet oder wie ich das "beweise".

Noch weniger weiss ich wie ich so eine DGL lösen soll. Kann mir da jemand vllt bitte zur Hand gehen?

23.10.2012, 13:56

HAL 9000

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RE: differntialgleichung exaktheit und lösung

Zitat:

Original von Sarahbiene
Noch weniger weiss ich wie ich so eine DGL lösen soll.

Na da hier $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer im "Quotientenbundle" mit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ daherkommt (in gleicher Potenz), ist es wohl nicht so abwegig, auf die Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ zu kommen, was via $\begin{eqnarray*} y=zx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'=z'x+z \end{eqnarray*}$ dann zu

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z} - z^2 + \left(2z - \frac{1}{z^2}\right)(z'x+z) = 0 \end{eqnarray*}$

führt. Weiter umgeformt ist das eine DGL mit trennbaren Variablen.

23.10.2012, 14:08

Sarahbiene

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Und wie bestimme ich damit jetzt die exaktheit?

23.10.2012, 14:11

HAL 9000

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Davon hab ich keine Ahnung. Augenzwinkern

23.10.2012, 14:19

Sarahbiene

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Laut definition ist es exakt

wenn es eine Funktion F(x,y) gibt, so dass p(x,y) = delta f(x,y)/delta x und q(x,y) = deltaf(x,y)/delta y

Ich versteh da ehrlich gesagt nur Bahnhof.

Was ist in unserem Fall p(x,y)?

2/z -z² ?

und q(x,y) ist (2z-1/z²)/z*x+z)

Oh ich bin zu dumm dazu

23.10.2012, 14:24

HAL 9000

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Gehen wir zum Original zurück, also vor der Substitution:

Es ist hier $\begin{eqnarray*} p(x,y) = \frac{2x}{y} - \frac{y^2}{x^2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} q(x,y) = \frac{2y}{x} - \frac{x^2}{y^2} \end{eqnarray*}$ . Für Exaktheit muss $\begin{eqnarray*} \frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial q}{\partial x} \end{eqnarray*}$ gelten, das ist hier - wenn man nachrechnet - erfüllt.

23.10.2012, 15:18

Sarahbiene

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Achsoooooooooo

mit der Definition versteh ich das.

Vielen dank

Da wäre ja dann

-2y/x² - 2x/y² = -2y/x² - 2x/y²

stimmt also.

Bringt mir die Exaktheit jetzt was? kann ich die dgl dadurch schneller lösen?

23.10.2012, 15:20

Sarahbiene

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Laut skript ist

delta f(x,y)/dx = p(x/y)

kann ich jetzt p(x,y) aufleiten und 0 setzen?

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