Münze mit 2 köpfen - bed. Wahrscheinlichkeiten

23.10.2012, 14:45

Minion

Münze mit 2 köpfen - bed. Wahrscheinlichkeiten

Hallo an alle ^^

hab ne Aufgabe zu bearbeiten bei der ich ein kleines prob habe ... und zwar

Sei ein Topf mit 7 fairen Münzen und 3 Münzen mit Kopf gegeben.
Erstes Experiment (E1): Entnehme eine Münze dem Topf
Zweites Experiment (E2): Wirf die gezogenen Münze drei mal

Mit welcher Wahrscheinlichkeit (=Wk) hat man im Gesamtexperiment 3 mal Kopf geworfen?

Soooo mein Ansatz ist der folgende
(E1):
P(normale Münze)=P(N)=7/10

P(Münze mit zwei Kopf)=P(K)=3/10

E2: muss ich also in Abhängigkeit meiner gez. Münze berechnen.
"normale Münze"
Die Wk, dass ich drei mal "Kopf" mit einer normalen Münze werfe beträgt 1/6.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass ich jz wirklich eine normale Münze in (E1) ziehe, muss also P(E2 | N) berechnet werden.
P(E2 | N) = $\begin{eqnarray*} \frac{P\begin{pmatrix} E2 \cap N \end{pmatrix}}{P\begin{pmatrix} N \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Ich kenne nun P(N)=7/10 und P(E2 geschnitten N)=1/6. Einsetzen liefert für P(E2 | N)=5/21

"Münze mit zwei Kopf"
Die Wk, dass ich mit so einer Münze Kopf werfe beträgt 1 bzw immer 100% .
Für P(E2 | K) = $\begin{eqnarray*} \frac{P\begin{pmatrix} E2 \cap K \end{pmatrix}}{P\begin{pmatrix} K \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Wobei P(K)=3/10 und P(E2 geschnitten K)=1. Einsetzen liefert für P(E2 | K) = $\begin{eqnarray*} 3\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Für die Gesamtwahrscheinlichkeit würde ich einfach meine Wk zusammen multiplizieren was mich auf den Wert 0,79 bringt. verwirrt

Bin mir überhaupt nicht sicher ob das in irgendeiner Weise richtig ist. Vorallem bei den $\begin{eqnarray*} 3\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ glaube ich, dass es falsch ist weil ich doch mehr als 100% habe? verwirrt

Bin für jeden Tipp oder Ansatz dankbar smile

23.10.2012, 15:19

HAL 9000

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Da bringst du aber einiges durcheinander:

Die Wahrscheinlichkeit für eine normale ungezinkte Münze, dreimal Kopf zu werfen, ist nicht 1/6, sondern 1/8. Und das ist auch nicht $\begin{eqnarray*} P(E_2\cap N) \end{eqnarray*}$ , sondern

$\begin{eqnarray*} P(E_2 \bigm| N) = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ ,

sofern man unter $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ das Ereignis versteht, dreimal Kopf zu werfen.

Genauso ist auch die 1 bei der gezinkten Münze eine bedingte Wahrscheinlichkeit, nämlich

$\begin{eqnarray*} P(E_2 \bigm| K) = 1 \end{eqnarray*}$ .

23.10.2012, 16:04

Minion

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Heyyy HAL 9000 ^^ Danke für deine schnelle Antwort Big Laugh

Ja das mit 1/6 das ist eindeutig falsch (1/2)^3=1/8 Big Laugh

Okay dann mit P(E2 | N) wäre ja wortwörtlich ausformuliert eigentlich "Wie groß ist die WK für drei mal Kopf unter der Bedigung, dass die Münze ungezinkt ist" dann verstehe eig bereits aus der Formulierung heraus wieso da 1/8 rauskommt. Hmmm weiß auch nicht wieso ich da nicht sofort drauf gekommen bin. verwirrt

Mit der gezinkten Münze verhält es sich dann auch analog.

Für die GesamtWahrscheinlichkeit muss ich dann doch jz einfach P(E2 | N) geschnitten P(E2 | K) berechnen und das wäre doch einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} * \frac{7}{10} + 1 * \frac{3}{10} \end{eqnarray*}$ ? oder irre ich mich? verwirrt

23.10.2012, 16:08

HAL 9000

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Die Rechnung ist richtig, und sie stellt auch was vollkommen anderes dar als
"P(E2 | N) geschnitten P(E2 | K)": Es ist schlicht die totale Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(E_2) = P(E_2 \bigm| N)\cdot P(N) + P(E_2 \bigm| K)\cdot P(K) \end{eqnarray*}$ .

23.10.2012, 16:15

Minion

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Bahhhh okayyy versteh einer Stocha Big Laugh

Danke dir für deine Mühe ^^
Werde mir jetzt auf jedenfall nochmal das Skript ansehen und alles nochmal durchgehen smile

23.10.2012, 16:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Minion
Bahhhh okayyy versteh einer Stocha Big Laugh

Es sollte wohl eher lauten:

"Verstehe einer die Studenten, die ständig die falschen Stochastik-Begriffe im Mund führen". smile

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