Trig. Gleichung lösen

23.10.2012, 15:22

Mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

Trig. Gleichung lösen

$\begin{eqnarray*} \cos(\sqrt{4-4x}-\pi /2 )+2*\sin(\sqrt{1-x}+\pi /2 ) =0 \end{eqnarray*}$

m.H. von u.a. Additionstheorem umgewandelt ergibt:

$\begin{eqnarray*} \sin(\sqrt{4-4x})+2*\cos(\sqrt{1-x} )=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(\sqrt{4-4x}=-2*\cos(\sqrt{1-x} ) \end{eqnarray*}$

ist es sinnvoll jetzt zu quadrieren um z.B. sin²x durch 1-cos²x zu ersetzen?

23.10.2012, 15:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Sinnvoller wäre jetzt eine Substitution wie $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-4x}=\sqrt{4(1-x)}=2t \end{eqnarray*}$ , und deine Gleichung wird zu

$\begin{eqnarray*} \sin(2t) = -2\cos(t) \end{eqnarray*}$ .

So, und jetzt Finger weg von quadrieren, sondern links wird das Doppelwinkel-Additionstheorem vom Sinus angewandt. Und auch Finger weg vom Dividieren (durch cos(t)), es wird besser vernünftig ausgeklammert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2012, 15:30

Mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sin^{2}(\sqrt{4-4x })^{2}=4*\cos^{2}(\sqrt{1-x} )^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin^{2}(4-4x) = 4*(1-\sin^{2})(1-x)<br /> \end{eqnarray*}$

soweit richtig? kann ich die additionstheoreme jetzt auch bei sin bzw cos² anwenden?

23.10.2012, 15:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, zu einem Weg mit überflüssigen Quadrieren und damit möglicherweise Einhandeln von Scheinlösungen werde ich dich gewiss nicht ermutigen oder unterstützen - ist mir zu unnötig kompliziert. unglücklich

unglücklich

Ganz abgesehen davon, dass einem dein "Quadrieren der Argumente" (statt nur Quadrieren der Funktionswerte) das Blut in den Adern gefrieren lässt. geschockt

geschockt

23.10.2012, 15:44

mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \cos(t)(2*\sin(t)+1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(t)=0 \vee 2*sin(t)+1)=0 \end{eqnarray*}$

Resubst. ?

$\begin{eqnarray*} \cos(\sqrt{1-x} )=0 \vee 2*sin(\sqrt{1-x} )+1)=0 \end{eqnarray*}$

23.10.2012, 15:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathe I
$\begin{eqnarray*} \cos(t)(2*\sin(t)+1)=0 \end{eqnarray*}$

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 2\cos(t)(\sin(t)+1)=0 \end{eqnarray*}$

Anzeige

23.10.2012, 15:50

mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von HAL 9000
Sinnvoller wäre jetzt eine Substitution wie $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-4x}=\sqrt{4(1-x)}=2t \end{eqnarray*}$ , und deine Gleichung wird zu

$\begin{eqnarray*} \sin(2t) = -2\cos(t) \end{eqnarray*}$ .
/quote]

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-4x}=\sqrt{4(1-x)}=2t \end{eqnarray*}$

ist das nicht =4t

23.10.2012, 15:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur, wenn in deinem Universum $\begin{eqnarray*} \sqrt{4}=4 \end{eqnarray*}$ ist. In meinem kommt da 2 heraus. Forum Kloppe

Forum Kloppe

23.10.2012, 16:00

Mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, komme dann jedoch auf $\begin{eqnarray*} \cos(t)(\sin(t)+1)=0 \end{eqnarray*}$

23.10.2012, 16:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso "jedoch"? Ob man Faktor 2 in $\begin{eqnarray*} 2\cos(t)(\sin(t)+1)=0 \end{eqnarray*}$ nun weglässt oder nicht, ist doch wurst!

23.10.2012, 16:09

Mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt resubst. ?

$\begin{eqnarray*} \cos(\sqrt{1-x} )= 0 \vee \sin(\sqrt{1-x})=-1 \end{eqnarray*}$

.

23.10.2012, 16:15

Mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \cos(\pi/2 )=0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \cos(3\pi/2 )=0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \sin(3\pi/2 )=-1 \end{eqnarray*}$

nur wie wende ich das jetzt an?

23.10.2012, 16:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Lösung ist also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x} = t = \frac{\pi}{2} + k\pi = (2k+1)\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Da offenbar $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nichtnegativ ist, macht auch nur $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ Sinn. Na und jetzt rücksubstitutieren, also umstellen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

23.10.2012, 16:45

Mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x= 1-\sqrt{(2k+1)\pi /2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x= 1-\sqrt{(4k+3)\pi /2} \end{eqnarray*}$

Richtige Endergebnisse?

23.10.2012, 17:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum ersten: Die Umkehroperation zum Wurzelziehen ist das Quadrieren!

Zum zweiten: Was soll das mit dem $\begin{eqnarray*} 4k+3 \end{eqnarray*}$ ? Diese Lösung (natürlich richtig umgeformt) ist doch bereits in der ersten Lösungsschar mit drin, ein erneutes Aufschreiben macht keinen Sinn.

23.10.2012, 17:17

mathe I

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x=1-(2k+1 *\pi /2)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1-(2k+1)^{2} *\pi ^{2}/4 \end{eqnarray*}$

23.10.2012, 18:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathe I
$\begin{eqnarray*} x=1-(2k+1)^{2} *\pi ^{2}/4 \end{eqnarray*}$

So stimmt es, in der Zeile zuvor fehlt ein Klammerpaar.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »