Lösen sie die folgende Gleichung nach x.

23.10.2012, 16:02

baba2k

Lösen sie die folgende Gleichung nach x.

Hallo zusammen,

ich hab mal wieder ein Problem

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich hier 2 oder 4 Fälle brauche.

$\begin{eqnarray*} |3x-1|=|-4x+2| \end{eqnarray*}$

1. Fall $\begin{eqnarray*} 3x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3} \wedge -4x+2\geq0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-1 = -4x+2 7x = 3 x = 7 \geq \frac{1}{3} \wedge \not\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

2. Fall $\begin{eqnarray*} 3x-1<0 \Rightarrow x<\frac{1}{3} \wedge -4x+2<0 \Rightarrow x>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(3x-1) = -(-4x+2) -3x+1= 8x-2 11x=-3 x=-\frac{3}{11} <\frac{1}{3} \wedge \not> \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

3. Fall $\begin{eqnarray*} 3x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3} \wedge -4x+2<0 \Rightarrow x>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-1 = -(-4x+2) 3x-1= 8x-2 5x=1 x=\frac{1}{5} \not\geq \frac{1}{3} \wedge \not> \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

4. Fall $\begin{eqnarray*} 3x-1 < 0 \Rightarrow x<\frac{1}{3} \wedge -4x+2\geq0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(3x-1) = -4x+2 -3x+1 = -4x+2 x = 1 \not<\frac{1}{3} \wedge \not\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\{\} \end{eqnarray*}$

Irgendwie kommt mir das komisch vor mit der leeren Lösungsmenge,
findet jemand den Fehler?

Weiß auch nicht wie ich das richtig aufschreibe, dass es z.B.
$\begin{eqnarray*} \not<\frac{1}{3} \wedge \not\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist. Ist die
Schreibweise so korrekt mit dem $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ?

//EDIT: Laut Aufgabenstellung ("Lösen sie die folgende Gleichung nach x.") muss
ich auch garkeine Lösungsmenge angeben, oder!?

23.10.2012, 16:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum 1.Fall: Da hapert es wohl etwas mit der Bruchrechung? Es ist durchaus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} < \frac{3}{7} < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , also ist die Lösung korrekt.

Wo im 2. und 3.Fall rechts das $\begin{eqnarray*} 8x \end{eqnarray*}$ herkommt, das weiß der Himmel.

Insgesamt viele, viel zu viele Rechen- und Flüchtigkeitsfehler. unglücklich

23.10.2012, 16:29

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du lieber Himmel, da hast du vollkommen recht, obwohl ich alles nochmals
nachgeschaut habe *peinlich*.

Ausgangsgleichung: $\begin{eqnarray*} |3x-1|=|-4x+2| \end{eqnarray*}$

1. Fall $\begin{eqnarray*} 3x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3} \wedge -4x+2\geq0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-1 = -4x+2 7x = 3 x = \frac{3}{7} \geq \frac{1}{3} \wedge \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

2. Fall $\begin{eqnarray*} 3x-1<0 \Rightarrow x<\frac{1}{3} \wedge -4x+2<0 \Rightarrow x>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(3x-1) = -(-4x+2) -3x+1= 4x-2 7x=-3 x=-\frac{3}{7} <\frac{1}{3} \wedge \not> \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

3. Fall $\begin{eqnarray*} 3x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3} \wedge -4x+2<0 \Rightarrow x>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-1 = -(-4x+2) 3x-1= 4x-2 x=1 \geq \frac{1}{3} \wedge > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

4. Fall $\begin{eqnarray*} 3x-1 < 0 \Rightarrow x<\frac{1}{3} \wedge -4x+2\geq0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(3x-1) = -4x+2 -3x+1 = -4x+2 x = 1 \not<\frac{1}{3} \wedge \not\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{\frac{3}{7},1\} \end{eqnarray*}$

So sollte es jetzt hoffentlich passen!?
Ist die Schreibweise so korrekt mit dem $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ?

23.10.2012, 17:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, im zweiten Fall steht auch $\begin{eqnarray*} 7x=3 \end{eqnarray*}$ , dieser Rechenfehler hatte aber keine Auswirkungen.

---------------------

Es geht übrigens auch ohne Fallunterscheidung, durch äquivalente Umformungen:

$\begin{eqnarray*} |3x-1|=|-4x+2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3x-1)^2 = (-4x+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = (3x-1)^2 - (-4x+2)^2 = (3x-1-(-4x+2))(3x-1+(-4x+2)) = -(7x-3)(x-1) \end{eqnarray*}$

mit den beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

23.10.2012, 17:10

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Naja, im zweiten Fall steht auch $\begin{eqnarray*} 7x=3 \end{eqnarray*}$ , dieser Rechenfehler hatte aber keine Auswirkungen.

Verstehe ich nicht ganz, im 2. Fall steht doch $\begin{eqnarray*} 7x=-3 \end{eqnarray*}$ was richtig sein sollte!?

Zitat:

Es geht übrigens auch ohne Fallunterscheidung, durch äquivalente Umformungen:

$\begin{eqnarray*} |3x-1|=|-4x+2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3x-1)^2 = (-4x+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = (3x-1)^2 - (-4x+2)^2 = (3x-1-(-4x+2))(3x-1+(-4x+2)) = -(7x-3)(x-1) \end{eqnarray*}$

mit den beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Oh, da hätte ich mir natürlich viel Schreibarbeit sparen können.

Vielen Dank!!!

23.10.2012, 18:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von baba2k
Verstehe ich nicht ganz, im 2. Fall steht doch $\begin{eqnarray*} 7x=-3 \end{eqnarray*}$ was richtig sein sollte!?

Ich liebe es, wenn sinnlos rumgestritten wird, statt nochmal nachzurechnen: In der Zeile zuvor stand noch richtig

$\begin{eqnarray*} -3x+1 &=& 4x-2 1 &=& 7x-2 3 &=& 7x \end{eqnarray*}$ .

Forum Kloppe

23.10.2012, 18:14

baba2k

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von baba2k
Verstehe ich nicht ganz, im 2. Fall steht doch $\begin{eqnarray*} 7x=-3 \end{eqnarray*}$ was richtig sein sollte!?

Hallo HAL 9000,

sorry das sollte nicht böse gemeint sein. "!?" hieß nur, dass ich es (mehrmals) nachgerechnet habe, mir aber auch nicht sicher war bzw. verwirrt war, was du genau meinst. Ich habe jetzt 9 Stunden Mathe hinter mir, ich sollte es einfach sein lassen für heute.

P.S.: Du hast natürlich vollkommen Recht! Hammer

Neue Frage »

Antworten »

Lösen sie die folgende Gleichung nach x.

Verwandte Themen