Äquivalenzrelation beweisen

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maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation beweisen
Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Auf IZ X (IZ\{0}) sei die Relation ~ definiert durch (a,b)~(c,d):<=> ad=bc.
Zeigen Sie, das ~ eine Äquivalenzrelation ist. (keine Brüche verwenden!)

(IZ soll das Symbol für ganze Zahlen sein. Hab es nicht bei den Formeln gefunden)

Meine Ideen:
Ich weiß, bei der Ä.-relation gilt: symmetrisch, reflexiv und transitiv.
Ich habe das Problem das ich "Auf IZ X (IZ\{0}) sei die Relation ~ definiert durch (a,b)~(c,d):<=> ad=bc" nicht richtig deuten kann. Ich weiß aber, das ...X... ein kartesisches Produkt und das die Teilmenge einer Relation ist.

Ich hoffe ihr könnt mit helfen. Danke.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Relation besagt :

ist äquivalent zu genau dann wenn ist.

Aber als erstes sollte man sich klar sein wie genau die Relation aufgebaut ist. Die Grundmenge ist

, sprich für die Relation gilt :



Die Elemente der Relation sind dann die Tupel

wobei a,b,c,d die entsprechenden Bedingungen erfüllen müssen. Etwa als Beispiel

Offenbar ist , daher ist



So, versuche jetzt mit diesen Dingen die Reflexivität für R zu beschreiben und zu beweisen.
 
 
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ... ich bezweifel das es richtig ist, aber das habe ich bis jetzt für die Reflexivität:
gilt: alle sind durch sich selbst teilbar: ala blb clc dld.
Beweis wäre dann, dass ich für die Elemente beliebige Zahlen einsetzen kann und das dann gilt: a=1*a => ala (b,c,d analog dazu).
Wäre das so richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass deine Aussagen so einfach für die Relation kein Sinn machen. Nochmal, die Relation ist auf der Menge



Definiert, also allein schon der Satz

Zitat:
gilt: alle sind durch sich selbst teilbar: ala blb clc dld.


ist nicht sinnvoll. Wie schon gesagt, die Relation ist eine Relation auf Tupeln, nicht auf Zahlen. Versuchs nochmal Augenzwinkern
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss aber sagen das a,b,c,d Elemente der Menge sind, oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schon genau aufpassen. Die Elemente von



sind Tupel (a,b) mit

Jetzt ist die Relation R eine Teilmenge von



Sprich, die Relation besteht aus 2-tupeln, deren Einträge jeweils auch Tupel sind. Also

mit und

So, schreibe jetzt mal exakt auf was Reflexivität für R heisst. Achte dabei genau auf die Mengen.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, ... toller erster Beweis.
Ok, also deine Erklärung verstehe ich (also das mit dem doppel Tupel).

Hm, mit der Reflexivität von R stehe ich grade auf dem Schlauch. Weil, meines erachtens hast du jetzt schon die Reflexivität beschrieben.
Ich finde auch in meinen Aufzeichungen oder im Skript die Sache nur so, wie du sie aufgeschrieben hast.

Oder meinst du das:
Und das dann noch analog zu ? Wobei ich der Meinung bin, das ist das selbe was du geschrieben hast.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ohje, ... toller erster Beweis.


Der Beweis ist nahezu trivial. Der Punkt der Aufgabe ist dass Du lernst exakt zu arbeiten und die Dinge ordentlich aufzuschreiben. Die Eigentliche Aussage ist nicht schwer.

Ich schreibs Dir jetzt Mal hin.
Reflexivität allgemein :

eine (nichtleere) Menge und eine Relation. R heißt reflexiv, wenn für alle auch ist.

Angewendet auf die Aufgabe :

, dann soll gelten :

Für alle soll dann auch sein. So, und jetzt die Preisfrage, ist ?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja?


Das musst Du schon beweisen. Was muss denn gelten damit

gilt? Achte auf die Definition von R in der Aufgabe!
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Für R muss gelten, das a ein Element von ist und b ein Element von . Aber haben wir das nicht schon festgelegt?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt keinen Sinn. Die Definition der Relation ist :



also was ist zu tun um



zu überprüfen?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Man müsste zeigen, dass ist?

Ich bezweifle,dass die ganze Aufgabe irgendwann noch was wird ...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Man müsste zeigen, dass ist?


Ja und nein. Achte auf deine Formulierungen. Insbesondere scheinst Du wohl nicht genau zu verstehen was da eigentlich steht. Übersetzt heißt das :

ist ein Element der Relation genau dann wenn

Das bedeutet, wenn Du beweisen kannst, dann folgt sofort dass gilt. Und naja, ich glaube ich muss Dir nicht erzählen dass für ganze Zahlen gilt. Damit ist die Reflexivität bewiesen (trivialer weise)
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe jetzt folgendes als Beweis für die Reflexivität aufgeschrieben:



Es gilt:
Für alle gilt , sodass ist.

Wäre das so richtig?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie funktioniert das mit der Symmetrie und der Transitivtät?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also zur Symmetrie. Da weiß ich das:
.
Bei der Transivität weiß ich:
und somit ist auch .

Stimmt das? Wenn ja, wie mach ich die Beweise?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für alle gilt , sodass ist.


Das ist der Beweis für die Reflexivität, mehr brauchts nicht Augenzwinkern .

Zitat:
Ok, also zur Symmetrie. Da weiß ich das:.


Ja, dass ganze muss natürlich ordentlich formuliert werden. Es sei

dann gilt also . Die Multiplikation in den ganzen Zahlen ist Kommutativ daher folgt und damit ist . Damit ist R symmetrisch.

Transitivität: Sei also dann ... ?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und somit ist auch

Oder nicht?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder nicht?


Das ist nur dieDefinitio der Transitivität. Du musst annehmen das



gilt und dann Beweisen dass auch



gilt. Einfach nur die Definition hinschreiben ist kein Beweis. Setze bei



erstmal die Definition von R ein und schau nach was Du machen kannst.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Also R wurde damit definiert das ((a,b)(c,d)) Elemente von R sind.
Wenn ich das jetzt in R einsetze würde das bedeuten:
.
Jetzt seh ich, das auf der rechten Seite alle Elemente im definierten R sind, (sozusagen ist R in R). Und bei der linken Seite, wenn ((a,b),(c,d)) und ((c,d),(e,f)) Elemente von R sind, dann müssen ((a,b),(e,f)) auch Elemente von R sein. Richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also R wurde damit definiert das ((a,b)(c,d)) Elemente von R sind.


Nein, R wurde dadurch definiert dass ist genau dann wenn ist.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »


Ich finde aber, dass es keinen Sinn macht (vorallem der hintere Teil). Müsste da nicht eher stehen: gilt genau dann wenn ce=df ist? Wobei R nicht so definiert wurde.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich finde aber, dass es keinen Sinn macht (vorallem der hintere Teil). Müsste da nicht eher stehen: gilt genau dann wenn ce=df ist? Wobei R nicht so definiert wurde.


Du scheinst doch noch einige grundlegende Probleme mit der mathematischen Schreibweise zu haben. Wenn

ist , dann folgt natürlich dass ist. a,b tauchen doch gar nicht auf in dem Ausdruck.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem war: wenn R schon vorgegeben definiert ist, ob ich es dann einfach "ändern" kann. Aber ok. Ich hab ja gemerkt das es mit ac=bd nicht wirklich stimmen kann.
Also muss gelten ce=df.
Das ist jetzt aber noch nicht der fertige Beweis, oder? Ich hab bis jetzt ja nur gezeigt, das für beide Teile das "selbe" gilt (ac=bd, ce=df) und nicht das ae=bf.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist jetzt aber noch nicht der fertige Beweis, oder? Ich hab bis jetzt ja nur gezeigt, das für beide Teile das "selbe" gilt (ac=bd, ce=df) und nicht das ae=bf.


Genau genommen hast Du noch gar nichts gezeigt. Grundsätzliches zur Transitivität :

Sei eine Relation, dann heißt R transitvit wenn gilt :

Wenn dann muss auch gelten. So , für unsere Relation heißt das also :

Wenn



dann auch



So, wir nehmen also an, dass gilt. Das bedeutet dass und . Hier haben wir bisher noch nichts bewiesen , wir haben nur unsere Annahme formal aufgeschrieben.

So , wie kann man aus

und nun folgern? Da muss man ein wenig nachdenken Augenzwinkern
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ehrlich?
Ich hätte das irgendwie gezeigt mit:
Zitat:
Aber wenn das nicht geht, weil es ein Teil unserer Annahme ist ...

Kann man sonst nicht auch sagen das ad=cf ist und somit =af? Und das selbe mit bc=de und damit =be.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ganz ehrlich? Ich hätte das irgendwie gezeigt mit: Zitat: Aber wenn das nicht geht, weil es ein Teil unserer Annahme ist ...


Wir wollen doch beweisen das . Und diese Eigenschaft gilt genau dann wenn ist. Wenn wir also zeigen können, dass aus

und die Gleichung dann folgt .

Noch mal zur Erklärung was die Definition besagt:

Es gilt :



Dies ist eine Äquivalenz. Sprich, wenn gilt, dann folgt . Und wenn gilt, dann folgt .

Wenn wir also annehmen, dass



und zeigen wollen, dass




dann müssen wir aus

und die Aussage folgern.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Kann man sonst nicht auch sagen das ad=cf ist und somit =af? Und das selbe mit bc=de und damit =be.

Was ist damit?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte sein?`Das wäre äquivalent zu

und das wissen wir nicht und brauchen wir nicht.

Fangen wir doch mal von links an. Wir wissen das



gilt. Jetzt gibts zwei Fälle c = 0 oder c != 0. Sei c != 0, dann gibt es eine Zahl mit , dann ist



also

, jetzt müsste man noch irgendwie beweisen und man wäre fertig. Das ist auch nicht weiter schwierig.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

(Hatte mich verschrieben. Meinte ae=bf.)
Wieso eigentlich cf=de und nicht ce=df?
Woher weißt du das mit den c's?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso eigentlich cf=de und nicht ce=df?


Schau Dir nochmal genau die Definition von R an!

Zitat:
Woher weißt du das mit den c's?


Eine Eigenschaft der rationalen Zahlen, im Allgemeinem wird eine rationale Zahl sein. Man kann die Sache aber auch anders aufziehen. Es gilt ja, da wir das angenommen haben



Multiplizieren wir die Gleichung mal mit f (Annahme f ungleich null), dann ist diese Gleichung Äquivalent zu



Jetzt wissen wir auch , dass ist, also folgt



Was gilt jetzt , wenn ist ?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das auch äquivalent zu ad=bc ist bzw das af=be gilt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das auch äquivalent zu ad=bc ist bzw das af=be gilt.


Naja, das lass ich mal gelten, denn gilt nach unserer Annahme sowieso schon. Wenn ist, dann folgt natürlich dass

sein muss und daraus folgt, dass ist.

Jetzt musst Du noch zwei Fälle betrachten.

Fall 2: f = 0
Fall 3 : d = 0

Die sind aber trivial.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn jetzt f=0 wäre und ich f mit ad=bc multipliziere kommt auf beiden Seiten 0 raus. Das selbe gilt für d (also adf=bde wäre auch auf beiden Seiten 0).

Und das ganze ist jetzt der Beweis für die Trivialität gewesen?.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn jetzt f=0 wäre und ich f mit ad=bc multipliziere kommt auf beiden Seiten 0 raus. Das selbe gilt für d (also adf=bde wäre auch auf beiden Seiten 0).


Erstaunlich dass Du versuchst das was ich gemacht habe zu kopieren, ob wohl das gar nicht nötig ist wenn Du ein wenig nachdenkst. Insbesondere nützt dir die Aussage nichts. Egal welche Gleichung du nimmst, wenn Du beide Seiten mit 0 multiplizierst kommt immer eine wahre AUssage heraus. Auch bei Gleichungen die eigentlich falsch sind. Nein, was passiert wenn wir f = 0 setzen?

Dann haben wir

und wir hätten dann gerne dass auch wäre. Schreib mal auf was das heißt.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß jetzt nicht genau was du meinst.
Für das würden gelten: ad=bc, für das zweite c0=de und für das dritte a0=be.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für das würden gelten: ad=bc, für das zweite c0=de und für das dritte a0=be.


Die Formulierung ist immernoch nicht richtig. Wir wollen beweisen. Schau Dir dazu mal die Gleichung



an. Offenbar gilt also . Erinnere dich daran das und , es sind also Zahlen. Wenn was folgt dann für d oder e?

edit:

Kommando zurück. Fall 2 und Fall 3 gibts gar nicht , da f und d per Definition nicht 0 sein können.Daher ist die AUfgabe bereits erledigt.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das eins von beiden auch 0 sein.
Du weißt das jetzt, weil ad=bc ist, richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das eins von beiden auch 0 sein.


Ja genau. Und da d nicht null sein kann muss e null sein. Aber achte mal auf meinen letzten Edit. Das spielt gar keine Rolle. Denn f und d sind per Definition ungleich null. Damit gibt es die Fälle 2 und 3 gar nicht und Du bist fertig.
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