Äquivalenzrelation beweisen

23.10.2012, 16:56

maho12

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Äquivalenzrelation beweisen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Auf IZ X (IZ\{0}) sei die Relation ~ definiert durch (a,b)~(c,d):<=> ad=bc.
Zeigen Sie, das ~ eine Äquivalenzrelation ist. (keine Brüche verwenden!)

(IZ soll das Symbol für ganze Zahlen sein. Hab es nicht bei den Formeln gefunden)

Meine Ideen:
Ich weiß, bei der Ä.-relation gilt: symmetrisch, reflexiv und transitiv.
Ich habe das Problem das ich "Auf IZ X (IZ\{0}) sei die Relation ~ definiert durch (a,b)~(c,d):<=> ad=bc" nicht richtig deuten kann. Ich weiß aber, das ...X... ein kartesisches Produkt und das die Teilmenge einer Relation ist.

Ich hoffe ihr könnt mit helfen. Danke.

23.10.2012, 17:11

Mazze

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Naja, die Relation besagt :

$\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (c,d) \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} ac = bd \end{eqnarray*}$ ist.

Aber als erstes sollte man sich klar sein wie genau die Relation aufgebaut ist. Die Grundmenge ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ , sprich für die Relation gilt :

$\begin{eqnarray*} R \subset (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0) \times (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0) \end{eqnarray*}$

Die Elemente der Relation sind dann die Tupel

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \end{eqnarray*}$ wobei a,b,c,d die entsprechenden Bedingungen erfüllen müssen. Etwa als Beispiel

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} 2*3 = 1*6 \end{eqnarray*}$ , daher ist

$\begin{eqnarray*} ((2,1),(3,6)) \in R \end{eqnarray*}$

So, versuche jetzt mit diesen Dingen die Reflexivität für R zu beschreiben und zu beweisen.

23.10.2012, 21:15

maho12

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Also ... ich bezweifel das es richtig ist, aber das habe ich bis jetzt für die Reflexivität:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b,c,d\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt: alle sind durch sich selbst teilbar: ala blb clc dld.
Beweis wäre dann, dass ich für die Elemente beliebige Zahlen einsetzen kann und das dann gilt: a=1*a => ala (b,c,d analog dazu).
Wäre das so richtig?

23.10.2012, 21:20

Mazze

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Das Problem ist, dass deine Aussagen so einfach für die Relation kein Sinn machen. Nochmal, die Relation ist auf der Menge

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$

Definiert, also allein schon der Satz

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall a,b,c,d\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt: alle sind durch sich selbst teilbar: ala blb clc dld.

ist nicht sinnvoll. Wie schon gesagt, die Relation ist eine Relation auf Tupeln, nicht auf Zahlen. Versuchs nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2012, 21:35

maho12

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Ich muss aber sagen das a,b,c,d Elemente der Menge sind, oder?

23.10.2012, 21:44

Mazze

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Du musst schon genau aufpassen. Die Elemente von

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$

sind Tupel (a,b) mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die Relation R eine Teilmenge von

$\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0) \times (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0) \end{eqnarray*}$

Sprich, die Relation besteht aus 2-tupeln, deren Einträge jeweils auch Tupel sind. Also

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,c \in \mathbb{Z}, b,d \in \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$

So, schreibe jetzt mal exakt auf was Reflexivität für R heisst. Achte dabei genau auf die Mengen.

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23.10.2012, 22:17

maho12

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Ohje, ... toller erster Beweis.
Ok, also deine Erklärung verstehe ich (also das mit dem doppel Tupel).

Hm, mit der Reflexivität von R stehe ich grade auf dem Schlauch. Weil, meines erachtens hast du jetzt schon die Reflexivität beschrieben.
Ich finde auch in meinen Aufzeichungen oder im Skript die Sache nur so, wie du sie aufgeschrieben hast.

Oder meinst du das:
$\begin{eqnarray*} \forall a,c\in \mathbb{Z} : (a,c)\in R \end{eqnarray*}$ Und das dann noch analog zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ ? Wobei ich der Meinung bin, das ist das selbe was du geschrieben hast.

23.10.2012, 22:24

Mazze

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Zitat:

Ohje, ... toller erster Beweis.

Der Beweis ist nahezu trivial. Der Punkt der Aufgabe ist dass Du lernst exakt zu arbeiten und die Dinge ordentlich aufzuschreiben. Die Eigentliche Aussage ist nicht schwer.

Ich schreibs Dir jetzt Mal hin.
Reflexivität allgemein :

$\begin{eqnarray*} Sei M \end{eqnarray*}$ eine (nichtleere) Menge und $\begin{eqnarray*} R \subset M \times M \end{eqnarray*}$ eine Relation. R heißt reflexiv, wenn für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R \end{eqnarray*}$ ist.

Angewendet auf die Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} M = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ , dann soll gelten :

Für alle $\begin{eqnarray*} (a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ soll dann auch $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b)) \in R \end{eqnarray*}$ sein. So, und jetzt die Preisfrage, ist $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b)) \in R \end{eqnarray*}$ ?

23.10.2012, 22:32

maho12

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Ja?

23.10.2012, 22:34

Mazze

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Zitat:

Ja?

Das musst Du schon beweisen. Was muss denn gelten damit

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b)) \in R \end{eqnarray*}$ gilt? Achte auf die Definition von R in der Aufgabe!

23.10.2012, 22:50

maho12

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Für R muss gelten, das a ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist und b ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ . Aber haben wir das nicht schon festgelegt?

23.10.2012, 23:00

Mazze

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Das ergibt keinen Sinn. Die Definition der Relation ist :

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R \Leftrightarrow ad = bc \end{eqnarray*}$

also was ist zu tun um

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b)) \in R \end{eqnarray*}$

zu überprüfen?

23.10.2012, 23:57

maho12

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Man müsste zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b))\in R <=> ab=ba \end{eqnarray*}$ ist?

Ich bezweifle,dass die ganze Aufgabe irgendwann noch was wird ...

24.10.2012, 00:00

Mazze

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Zitat:

Man müsste zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b))\in R <=> ab=ba \end{eqnarray*}$ ist?

Ja und nein. Achte auf deine Formulierungen. Insbesondere scheinst Du wohl nicht genau zu verstehen was da eigentlich steht. Übersetzt heißt das :

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b)) \end{eqnarray*}$ ist ein Element der Relation genau dann wenn $\begin{eqnarray*} ab = ba \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, wenn Du $\begin{eqnarray*} ab = ba \end{eqnarray*}$ beweisen kannst, dann folgt sofort dass $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b))\in R \end{eqnarray*}$ gilt. Und naja, ich glaube ich muss Dir nicht erzählen dass $\begin{eqnarray*} ab = ba \end{eqnarray*}$ für ganze Zahlen gilt. Damit ist die Reflexivität bewiesen (trivialer weise)

24.10.2012, 19:20

maho12

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Ok, ich habe jetzt folgendes als Beweis für die Reflexivität aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} R\subset (\mathbb{Z}X\mathbb{Z}_0)(\mathbb{Z}X\mathbb{Z}_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d))\in R\Leftrightarrow ad=bc \end{eqnarray*}$
Es gilt: $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b))\in R\Leftrightarrow ab=ba \end{eqnarray*}$
Für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{Z}x\mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} ab=ba \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b))\in R \end{eqnarray*}$ ist.

Wäre das so richtig?

24.10.2012, 22:09

maho12

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Wie funktioniert das mit der Symmetrie und der Transitivtät?

24.10.2012, 22:41

maho12

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Ok, also zur Symmetrie. Da weiß ich das:
$\begin{eqnarray*} (ad=bc)\Leftrightarrow (cb=da) \end{eqnarray*}$ .
Bei der Transivität weiß ich:
$\begin{eqnarray*} ab,cd \in R \wedge cd, ef \in R \end{eqnarray*}$ und somit ist auch $\begin{eqnarray*} ab,ef \in R \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das? Wenn ja, wie mach ich die Beweise?

25.10.2012, 09:05

Mazze

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Zitat:

Für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{Z}x\mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} ab=ba \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} ((a,b),(a,b))\in R \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist der Beweis für die Reflexivität, mehr brauchts nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

Ok, also zur Symmetrie. Da weiß ich das: $\begin{eqnarray*} (ad=bc)\Leftrightarrow (cb=da) \end{eqnarray*}$ .

Ja, dass ganze muss natürlich ordentlich formuliert werden. Es sei

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R \end{eqnarray*}$ dann gilt also $\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$ . Die Multiplikation in den ganzen Zahlen ist Kommutativ daher folgt $\begin{eqnarray*} da = cb \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} ((c,d),(a,b)) \in R \end{eqnarray*}$ . Damit ist R symmetrisch.

Transitivität: Sei also $\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R, ((c,d),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$ dann ... ?

25.10.2012, 19:03

maho12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} ab,cd \in R \wedge cd, ef \in R \end{eqnarray*}$ und somit ist auch $\begin{eqnarray*} ab,ef \in R \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

25.10.2012, 19:38

Mazze

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Zitat:

Oder nicht?

Das ist nur dieDefinitio der Transitivität. Du musst annehmen das

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R, ((c,d),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$

gilt und dann Beweisen dass auch

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$

gilt. Einfach nur die Definition hinschreiben ist kein Beweis. Setze bei

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R, ((c,d),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$

erstmal die Definition von R ein und schau nach was Du machen kannst.

26.10.2012, 11:30

maho12

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Ok.
Also R wurde damit definiert das ((a,b)(c,d)) Elemente von R sind.
Wenn ich das jetzt in R einsetze würde das bedeuten:
$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d))\in ((a,b),(c,d)),((c,d),(e,f))\in ((a,b),(c,d)) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt seh ich, das auf der rechten Seite alle Elemente im definierten R sind, (sozusagen ist R in R). Und bei der linken Seite, wenn ((a,b),(c,d)) und ((c,d),(e,f)) Elemente von R sind, dann müssen ((a,b),(e,f)) auch Elemente von R sein. Richtig?

26.10.2012, 11:34

Mazze

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Zitat:

Also R wurde damit definiert das ((a,b)(c,d)) Elemente von R sind.

Nein, R wurde dadurch definiert dass $\begin{eqnarray*} ((a,b)(c,d)) \in R \end{eqnarray*}$ ist genau dann wenn $\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$ ist.

26.10.2012, 12:46

maho12

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$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d))\in R \Leftrightarrow ac=bd, ((c,d),(e,f)\in R \Leftrightarrow ac=bd \end{eqnarray*}$
Ich finde aber, dass es keinen Sinn macht (vorallem der hintere Teil). Müsste da nicht eher stehen: gilt genau dann wenn ce=df ist? Wobei R nicht so definiert wurde.

26.10.2012, 12:52

Mazze

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Zitat:

Ich finde aber, dass es keinen Sinn macht (vorallem der hintere Teil). Müsste da nicht eher stehen: gilt genau dann wenn ce=df ist? Wobei R nicht so definiert wurde.

Du scheinst doch noch einige grundlegende Probleme mit der mathematischen Schreibweise zu haben. Wenn

$\begin{eqnarray*} ((c,d),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$ ist , dann folgt natürlich dass $\begin{eqnarray*} cf = de \end{eqnarray*}$ ist. a,b tauchen doch gar nicht auf in dem Ausdruck.

26.10.2012, 13:09

maho12

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Mein Problem war: wenn R schon vorgegeben definiert ist, ob ich es dann einfach "ändern" kann. Aber ok. Ich hab ja gemerkt das es mit ac=bd nicht wirklich stimmen kann.
Also muss gelten ce=df.
Das ist jetzt aber noch nicht der fertige Beweis, oder? Ich hab bis jetzt ja nur gezeigt, das für beide Teile das "selbe" gilt (ac=bd, ce=df) und nicht das ae=bf.

26.10.2012, 13:20

Mazze

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Zitat:

Das ist jetzt aber noch nicht der fertige Beweis, oder? Ich hab bis jetzt ja nur gezeigt, das für beide Teile das "selbe" gilt (ac=bd, ce=df) und nicht das ae=bf.

Genau genommen hast Du noch gar nichts gezeigt. Grundsätzliches zur Transitivität :

Sei $\begin{eqnarray*} R \subset M \times M \end{eqnarray*}$ eine Relation, dann heißt R transitvit wenn gilt :

Wenn $\begin{eqnarray*} (a,b),(b,c) \in R \end{eqnarray*}$ dann muss auch $\begin{eqnarray*} (a,c) \in R \end{eqnarray*}$ gelten. So , für unsere Relation heißt das also :

Wenn

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R, ((c,d),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$

dann auch

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$

So, wir nehmen also an, dass $\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R, ((c,d),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$ gilt. Das bedeutet dass $\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cf = de \end{eqnarray*}$ . Hier haben wir bisher noch nichts bewiesen , wir haben nur unsere Annahme formal aufgeschrieben.

So , wie kann man aus

$\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cf = de \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} af = be \end{eqnarray*}$ folgern? Da muss man ein wenig nachdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2012, 14:02

maho12

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Ganz ehrlich?
Ich hätte das irgendwie gezeigt mit:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f))\in R \end{eqnarray*}$

Aber wenn das nicht geht, weil es ein Teil unserer Annahme ist ...

Kann man sonst nicht auch sagen das ad=cf ist und somit =af? Und das selbe mit bc=de und damit =be.

26.10.2012, 14:09

Mazze

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Zitat:

Ganz ehrlich? Ich hätte das irgendwie gezeigt mit: Zitat: $\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f))\in R \end{eqnarray*}$ Aber wenn das nicht geht, weil es ein Teil unserer Annahme ist ...

Wir wollen doch beweisen das $\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f))\in R \end{eqnarray*}$ . Und diese Eigenschaft gilt genau dann wenn $\begin{eqnarray*} af = be \end{eqnarray*}$ ist. Wenn wir also zeigen können, dass aus

$\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cf = de \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} af = be \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f))\in R \end{eqnarray*}$ .

Noch mal zur Erklärung was die Definition besagt:

Es gilt :

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d) \in R) \Leftrightarrow ad = cd \end{eqnarray*}$

Dies ist eine Äquivalenz. Sprich, wenn $\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt $\begin{eqnarray*} ad = cd \end{eqnarray*}$ . Und wenn $\begin{eqnarray*} ad = cd \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt $\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir also annehmen, dass

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R, ((c,d),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$

und zeigen wollen, dass

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f)) \in R \end{eqnarray*}$

dann müssen wir aus

$\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cf = de \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} af = be \end{eqnarray*}$ folgern.

26.10.2012, 14:14

maho12

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Zitat:

Kann man sonst nicht auch sagen das ad=cf ist und somit =af? Und das selbe mit bc=de und damit =be.

Was ist damit?

26.10.2012, 14:21

Mazze

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Wieso sollte $\begin{eqnarray*} ad = cf \end{eqnarray*}$ sein?`Das wäre äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} ((a,c),(f,d)) \in R \end{eqnarray*}$ und das wissen wir nicht und brauchen wir nicht.

Fangen wir doch mal von links an. Wir wissen das

$\begin{eqnarray*} cf = de \end{eqnarray*}$

gilt. Jetzt gibts zwei Fälle c = 0 oder c != 0. Sei c != 0, dann gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} c^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} cc^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f = c^{-1}de \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} af = ac^{-1}de \end{eqnarray*}$ , jetzt müsste man noch irgendwie $\begin{eqnarray*} ac^{-1}d = b \end{eqnarray*}$ beweisen und man wäre fertig. Das ist auch nicht weiter schwierig.

26.10.2012, 14:27

maho12

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(Hatte mich verschrieben. Meinte ae=bf.)
Wieso eigentlich cf=de und nicht ce=df?
Woher weißt du das mit den c's?

27.10.2012, 10:53

Mazze

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Zitat:

Wieso eigentlich cf=de und nicht ce=df?

Schau Dir nochmal genau die Definition von R an!

Zitat:

Woher weißt du das mit den c's?

Eine Eigenschaft der rationalen Zahlen, im Allgemeinem wird $\begin{eqnarray*} c^{-1} \end{eqnarray*}$ eine rationale Zahl sein. Man kann die Sache aber auch anders aufziehen. Es gilt ja, da wir das angenommen haben

$\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$

Multiplizieren wir die Gleichung mal mit f (Annahme f ungleich null), dann ist diese Gleichung Äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} adf = bcf \end{eqnarray*}$

Jetzt wissen wir auch , dass $\begin{eqnarray*} cf = de \end{eqnarray*}$ ist, also folgt

$\begin{eqnarray*} adf = bde \Leftrightarrow daf = dbe \end{eqnarray*}$

Was gilt jetzt , wenn $\begin{eqnarray*} d \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist ?

27.10.2012, 12:47

maho12

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Das $\begin{eqnarray*} adf=bde \end{eqnarray*}$ auch äquivalent zu ad=bc ist bzw das af=be gilt.

27.10.2012, 13:28

Mazze

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Zitat:

Das $\begin{eqnarray*} adf=bde \end{eqnarray*}$ auch äquivalent zu ad=bc ist bzw das af=be gilt.

Naja, das lass ich mal gelten, denn $\begin{eqnarray*} ad = bc \end{eqnarray*}$ gilt nach unserer Annahme sowieso schon. Wenn $\begin{eqnarray*} d \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt natürlich dass

$\begin{eqnarray*} af = be \end{eqnarray*}$ sein muss und daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,f))\in R \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt musst Du noch zwei Fälle betrachten.

Fall 2: f = 0
Fall 3 : d = 0

Die sind aber trivial.

27.10.2012, 13:48

maho12

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Wenn jetzt f=0 wäre und ich f mit ad=bc multipliziere kommt auf beiden Seiten 0 raus. Das selbe gilt für d (also adf=bde wäre auch auf beiden Seiten 0).

Und das ganze ist jetzt der Beweis für die Trivialität gewesen?.

27.10.2012, 13:57

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn jetzt f=0 wäre und ich f mit ad=bc multipliziere kommt auf beiden Seiten 0 raus. Das selbe gilt für d (also adf=bde wäre auch auf beiden Seiten 0).

Erstaunlich dass Du versuchst das was ich gemacht habe zu kopieren, ob wohl das gar nicht nötig ist wenn Du ein wenig nachdenkst. Insbesondere nützt dir die Aussage nichts. Egal welche Gleichung du nimmst, wenn Du beide Seiten mit 0 multiplizierst kommt immer eine wahre AUssage heraus. Auch bei Gleichungen die eigentlich falsch sind. Nein, was passiert wenn wir f = 0 setzen?

Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} ((a,b),(c,d)) \in R, ((c,d),(e,0)) \in R \end{eqnarray*}$ und wir hätten dann gerne dass auch $\begin{eqnarray*} ((a,b),(e,0)) \in R \end{eqnarray*}$ wäre. Schreib mal auf was das heißt.

27.10.2012, 14:08

maho12

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Weiß jetzt nicht genau was du meinst.
Für das würden gelten: ad=bc, für das zweite c0=de und für das dritte a0=be.

27.10.2012, 14:21

Mazze

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Zitat:

Für das würden gelten: ad=bc, für das zweite c0=de und für das dritte a0=be.

Die Formulierung ist immernoch nicht richtig. Wir wollen $\begin{eqnarray*} a0 = be \end{eqnarray*}$ beweisen. Schau Dir dazu mal die Gleichung

$\begin{eqnarray*} c0 = de \end{eqnarray*}$

an. Offenbar gilt also $\begin{eqnarray*} 0 = de \end{eqnarray*}$ . Erinnere dich daran das $\begin{eqnarray*} d \in \mathbb{Z}_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , es sind also Zahlen. Wenn $\begin{eqnarray*} 0 = de \end{eqnarray*}$ was folgt dann für d oder e?

edit:

Kommando zurück. Fall 2 und Fall 3 gibts gar nicht , da f und d per Definition nicht 0 sein können.Daher ist die AUfgabe bereits erledigt.

27.10.2012, 14:28

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Das eins von beiden auch 0 sein.
Du weißt das jetzt, weil ad=bc ist, richtig?

27.10.2012, 14:33

Mazze

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Zitat:

Das eins von beiden auch 0 sein.

Ja genau. Und da d nicht null sein kann muss e null sein. Aber achte mal auf meinen letzten Edit. Das spielt gar keine Rolle. Denn f und d sind per Definition ungleich null. Damit gibt es die Fälle 2 und 3 gar nicht und Du bist fertig.

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