Beweis der surjektiven Abbildung

23.10.2012, 18:01	maho12	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der surjektiven Abbildung Meine Frage: Hallo alle zusammen. Wir hatten heute folgende Aufgabe: Sei M eine Menge. Beweisen Sie, dass es keine surjekive Abbildung f: M->P(M) gibt. Hinweis: Beachten Sie $\begin{eqnarray} \left\{ x\in M / x kein \in f(x)\right\} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Wir haben uns als Lösung aufgeschrieben: f: A->P(A) B:= $\begin{eqnarray} \left\{ a\in A / a kein \in f(a)\right\}\subseteq A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b \in A \end{eqnarray}$ B=f(b) $\begin{eqnarray} B\subseteq A \end{eqnarray}$ Ja oder Nein? Fall 1: $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} b kein \in f(b)=B \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} b nicht\in B \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} b \in f(b)=B \end{eqnarray}$ Leider verstehe ich den Beweis nicht. Wäre schön wenn mir jmd helfen könnte. Danke schon mal.
23.10.2012, 18:49	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Also... Zuerst mal ist das ien Widerspruchsbeweis, d.h. du nimmst an, es gibt eine solche surjektive Abbildung f:M->P(M). Du konstruierst die Menge bestehend aus allen Elementen von M, die nicht in der Menge enthalten sind, auf die sie abgebildet werden. Soll nun f surjektiv sein, so muss diese Menge das Bild eines Elements aus M sein. Und dann unterscheidest du nur noch, ob dieses Element in B liegt oder nicht, beides führt auf einen Widerspruch. Deine Verwirrung kommt wahrscheinlich davon, dass du verschiedene bezeichnungen für die gleichen Mengen verwendest (A und M), sowie die überflüssige Zeile mit dem "B teilmenge von A"- was meines ERachtens hier unnötig ist.
23.10.2012, 20:42	maho12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok,... Wo muss ich b "eingesetzt" haben um darauf zu kommen, dass es ein Element von f(b) ist?
24.10.2012, 08:02	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du machst das, was oben in den letzten beiden Zeilen steht: 1. Fall (b ist Element von B) 2. Fall (b ist kein Element von B) und denkst dabei daran, was B denn für eine Menge ist.
24.10.2012, 18:42	maho12	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktioniert das, wenn ich statt a b einsetze? Ich kann mir das noch nicht richtig vorstellen wie ich das rausbekomme, ob b (k)ein Element ist oder nicht.
25.10.2012, 07:33	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal ganz konkret den 1. Fall und sage: $\begin{eqnarray} B=\{x\in A \| x\not\in f(x)\} \end{eqnarray}$ und setze b als das Element aus M, für das $\begin{eqnarray} f(b)=B \end{eqnarray}$ sein soll - ein solches Element muss existieren, wenn f surjektiv ist. Jetzt also die Frage: was folgt, wenn $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ ist? - Dann ist b Element der Menge, deren Elemente nicht in ihrem zugehörigen Bild liegen - aber da b Element von f(b) ist, folgt, dass b nicht in B sein kann. Den zweiten Fall kannst du jetzt hoffentlich selbst lösen.
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25.10.2012, 19:20	maho12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke. Jetzt ist es klar.
25.10.2012, 19:21	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen!

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