Gauß in Abhängigkeit eines Parameters mit Lösungsmenge

23.10.2012, 18:02

baba2k

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Gauß in Abhängigkeit eines Parameters mit Lösungsmenge

Hallo zusammen,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Verwenden Sie den Gauß-Algorithmus, um in Abhängigkeit des Parameters $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Lösbarkeit des folgenden linearen Gleichungssystems zu untersuchen und die Lösungsmenge zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} <br /> 2x+y+z=0<br /> -2\lambda x+\lambda y+9z=6<br /> 2x+2y+\lambda z=1<br /> \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz (Sorry für die blöde Darstellung):
$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> -2\lambda & \lambda & 9 & 6 \\ <br /> 2 & 2 & \lambda & 1 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Zeile $\begin{eqnarray*} II \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} III \end{eqnarray*}$ vertauschen

$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> 2 & 2 & \lambda & 1 \\ <br /> -2\lambda & \lambda & 9 & 6 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> II' = I - II<br /> III' = I \cdot \lambda + III<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> 0 & -1 & 1- \lambda & -1 \\ <br /> 0 & 0 & \lambda +9 & 6 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Und jetzt komm ich nicht mehr wirklich weiter:

$\begin{eqnarray*} <br /> ( \lambda + 9 )z=6<br /> z=\frac{6}{ \lambda + 9 } <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> -y+( 1- \lambda )z=-1<br /> -y+( 1- \lambda )\frac{6}{ \lambda + 9 } =-1<br /> y=( 1- \lambda )\frac{6}{ \lambda + 9 }+1<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 2x+y+z=0<br /> 2x+(( 1- \lambda )\frac{6}{ \lambda + 9 }+1)+\frac{6}{ \lambda + 9 } <br /> 2x=-(( 1- \lambda )\frac{6}{ \lambda + 9 }+1)-\frac{6}{ \lambda + 9 } <br /> x=\frac{-(( 1- \lambda )\frac{6}{ \lambda + 9 }+1)-\frac{6}{ \lambda + 9 }}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \mathbb L=\{ x, y, z | \lambda \in \mathbb R\}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \mathbb L=\{ \frac{-(( 1- \lambda )\frac{6}{ \lambda + 9 }+1)-\frac{6}{ \lambda + 9 }}{2} , ( 1- \lambda )\frac{6}{ \lambda + 9 }+1, \frac{6}{ \lambda + 9 } | \lambda \in \mathbb R\}<br /> \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen, was ich falsch mache? Oder kann ich einfach wieder nur nicht anständig zusammenfassen?

Vielen Dank!

Gruß baba

23.10.2012, 19:06

Dopap

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RE: Gauß in Abhängigkeit eines Parameters mit Lösungsmenge

Zitat:

Original von baba2k

$\begin{eqnarray*} <br /> II' = I - II<br /> III' = I \cdot \lambda + III<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> 0 & -1 & 1- \lambda & -1 \\ <br /> 0 & \color{red}2\lambda & \lambda +9 & 6 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$

23.10.2012, 19:27

baba2k

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RE: Gauß in Abhängigkeit eines Parameters mit Lösungsmenge
Ups, misst da ist der Fehler, Danke! Wie weit soll ich rechnen? Reicht es nicht, wenn in der
letzten Zeile zwei Nullen sind und in der vorletzten eine Null am Anfang?

Gruß baba

23.10.2012, 19:31

Dopap

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doch das reicht aus. Am Rande immer notieren welche Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auszuschließen sind.

23.10.2012, 19:36

baba2k

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RE: Gauß in Abhängigkeit eines Parameters mit Lösungsmenge

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ist es nicht egal, welchen Wert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ annimmt?

$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Mh irgendwie versteh ich das nicht ganz...

Gruß baba

23.10.2012, 20:44

Dopap

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RE: Gauß in Abhängigkeit eines Parameters mit Lösungsmenge

Zitat:

Original von baba2k

$\begin{eqnarray*} <br /> II' = I - II<br /> III' = I \cdot {\color{blue}\lambda }+ III<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> 0 & -1 & 1- \lambda & -1 \\ <br /> 0 & \color{red}2\lambda & \lambda +9 & 6 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Du hast doch Zeile 1 mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ multipliziert. Und das darf man nicht für $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$

Alles was jetzt noch an Umformungen folgt, gilt unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$

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23.10.2012, 21:11

baba2k

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Ah nar klar, haben wir heut erst in er Vorlesung gemacht, stimmt. Hab ich bei dem Parameter garnicht dran gedacht.

Vielen Dank!

24.10.2012, 14:49

baba2k

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RE: Gauß in Abhängigkeit eines Parameters mit Lösungsmenge
Hallo,

ich habs noch mehrmals versucht, aber irgendwie kommt mir das komisch vor:

$\begin{eqnarray*} <br /> 2x+y+z=0<br /> -2\lambda x+\lambda y+9z=6<br /> 2x+2y+\lambda z=1<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> -2\lambda & \lambda & 9 & 6 \\ <br /> 2 & 2 & \lambda & 1 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Zeile $\begin{eqnarray*} II \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} III \end{eqnarray*}$ vertauschen

$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> 2 & 2 & \lambda & 1 \\ <br /> -2\lambda & \lambda & 9 & 6 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> II' = I - II<br /> III' = I \cdot \lambda + III<br /> (\lambda\not=0)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> 0 & -1 & 1- \lambda & -1 \\ <br /> 0 & 2 \lambda & \lambda +9 & 6 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> III'' = II' \cdot 2 \lambda + III'<br /> (\lambda\not=0)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \left( \begin{array}{ccc|c}<br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /> 0 & -1 & 1- \lambda & -1 \\ <br /> 0 & 0 & -2\lambda^{2}+3\lambda+9 & -2\lambda+6 \\ <br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lambda\not=0 \wedge -2\lambda^{2}+3\lambda+9 \not=0) \end{eqnarray*}$

Das kann doch nicht stimmen, oder? Wenn ich jetzt z,y,x ausrechen will,
werden das wieder riesigie Brüche.

24.10.2012, 17:14

Dopap

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ganz so schlimm ist es nicht, Faktorisierung:

III.) $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)\cdot z=2(\lambda-3) \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es über Lösungsmengen nachzudenken

Fall 1.) für $\begin{eqnarray*} \lambda = 3~ \Rightarrow ~0z=0 \end{eqnarray*}$ Folgerung?

Fall 2.) für $\begin{eqnarray*} \lambda =-\frac 32 \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$ Folgerung?

Fall 3.) $\begin{eqnarray*} \lambda \notin \{0,3,-\frac 32 \} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ...

Es genügt im Moment, die Dimension der Lösungsmenge zu bestimmen, also höchstens z zu bestimmen.

24.10.2012, 17:55

baba2k

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Zitat:

Original von Dopap
ganz so schlimm ist es nicht, Faktorisierung:

III.) $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)\cdot z=2(\lambda-3) \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es über Lösungsmengen nachzudenken

Fall 1.) für $\begin{eqnarray*} \lambda = 3~ \Rightarrow ~0z=0 \end{eqnarray*}$ Folgerung?

Fall 2.) für $\begin{eqnarray*} \lambda =-\frac 32 \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$ Folgerung?

Fall 3.) $\begin{eqnarray*} \lambda \notin \{0,3,-\frac 32 \} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ...

Es genügt im Moment, die Dimension der Lösungsmenge zu bestimmen, also höchstens z zu bestimmen.

Ahh, vielen Dank, das mit dem Faktorisieren sieht echt gut aus

$\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)\cdot z=2(\lambda-3) \end{eqnarray*}$

Das Gleichungssystem ist

(i) nicht lösbar wenn $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2(\lambda-3)\not=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac 32 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$
(ii) eindeutig lösbar wenn $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)\not=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \lambda\not=-\frac 32 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda\not=0 \end{eqnarray*}$
(iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2(\lambda-3)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{ \frac {2}{2\lambda+3} |\lambda \notin 0,3,-\frac 32 \} \end{eqnarray*}$

Besonders bei der Lösungsmenge bin ich mir nicht sicher
wenn ich nach z auflöse bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} z=\frac {2}{2\lambda+3} \end{eqnarray*}$

Dann passt aber auch $\begin{eqnarray*} \lambda \notin 0,3,-\frac 32 \end{eqnarray*}$ nicht mehr.

24.10.2012, 19:28

Dopap

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<<<<< Ahh, vielen Dank, das mit dem Faktorisieren sieht echt gut aus>>>>>

$\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)\cdot z=2(\lambda-3) \end{eqnarray*}$
<<<< Das Gleichungssystem ist <<<<

Zitat:

(i) nicht lösbar wenn $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2(\lambda-3)\not=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac 32 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$

Du musst präziser werden. $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ gilt sowieso nicht , siehe ganz oben.
Und wenn schon $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist das falsch. Es genügt eine Bedingung: $\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac 32 \end{eqnarray*}$

Zitat:

(ii) eindeutig lösbar wenn $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)\not=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \lambda\not=-\frac 32 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda\not=0 \end{eqnarray*}$

Wieder ungenau : $\begin{eqnarray*} \lambda \notin \{3,-\tfrac 32\} \end{eqnarray*}$ ist richtig, denn $\begin{eqnarray*} \lambda =3 \end{eqnarray*}$ ist dem letzten Fall vorbehalten. -->

Zitat:

(iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2(\lambda-3)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$

wieder zuviele Bedingungen: $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$ genügt. Die Lösungsmenge ist unendlich, sprich wir erhalten eine Gerade im x,y,z_Raum.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{ \frac {2}{2\lambda+3} |\lambda \notin 0,3,-\frac 32 \} \end{eqnarray*}$

ist ziemlich falsch. z allein ist noch keine Lösungsmenge.

Bisher gibt es noch keine expliziten Lösungsmengen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} z=\frac {2}{2\lambda+3} \end{eqnarray*}$

gilt für den Fall ii.)

Zitat:

Dann passt aber auch $\begin{eqnarray*} \lambda \notin 0,3,-\frac 32 \end{eqnarray*}$ nicht mehr.

und was sollte daran nicht passen?
---------------------------------------------------------------------------------------------
i.) braucht nicht weiter verfolgt werden $\begin{eqnarray*} \mathbb L= \{\} \end{eqnarray*}$

iii.) z ist wegen der Gleichung 0z=0 freier Parameter der Lösung.

y und x sind nun noch rekursiv in Abhängigkeit von z zu bestimmen.

ii.) $\begin{eqnarray*} z=\frac {2}{2\lambda+3} \end{eqnarray*}$ ist nun rekursiv einzusetzen.

-----------------------------------------------------------
Und dann sind wir immer noch nicht fertig. Das kann echt ( an der Uni ) in Arbeit ausarten Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2012, 19:56

baba2k

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Danke, ohne deine Hilfe hätte ich wahrscheinlich sogut wie garnichts geschafft. Gott

Gott

Augenzwinkern

Und das ist nur eine kleine Teilaufgabe vom 1. Übungsblatt...

Also wenn ich das richtig verstanden habe:

Vorher gilt nur (seit ich mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ multipliziert habe): $\begin{eqnarray*} \lambda\not=0 \end{eqnarray*}$

Das Gleichungssystem ist
(i) nicht lösbar wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac 32 \end{eqnarray*}$
(ii) eindeutig lösbar wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \notin \{3,-\tfrac 32\} \end{eqnarray*}$
(iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\frac {2}{2\lambda+3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=(1-\lambda)\frac {2}{2\lambda+3}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac {-(1-\lambda)\frac {2}{2\lambda+3}-1-\frac {2}{2\lambda+3}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{x,~y,~z~|~\lambda \notin 0,3,-\frac 32 \} \end{eqnarray*}$

24.10.2012, 20:20

Dopap

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soweit klar.

$\begin{eqnarray*} z=\frac {2}{2\lambda+3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=(1-\lambda)\frac {2}{2\lambda+3}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac {-(1-\lambda)\frac {2}{2\lambda+3}-1-\frac {2}{2\lambda+3}}{2} \end{eqnarray*}$

ist die Lösungsmenge im eindeutigen Fall.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{x,~y,~z~|~\lambda \notin 0,3,-\frac 32 \} \end{eqnarray*}$

aber nicht so schreiben!

$\begin{eqnarray*} \mathbb L= \{(x,y,z)\in \mathbb R \big| x=\frac {-(1-\lambda)\frac {2}{2\lambda+3}-1-\frac {2}{2\lambda+3}}{2} ~\land ~ y=(1-\lambda)\frac {2}{2\lambda+3}+1 ~\land ~ z=\frac {2}{2\lambda+3} \land \lambda \in \mathbb R \backslash \{0,3,-\tfrac 32 \} \end{eqnarray*}$

die Schreibfiguren für y und z sind natürlich unter aller Kanone. Das tut schon weh. Sowas lässt man nicht so stehen, optisch sind sicher Verbesserungen möglich, es ist aber auch nicht auszuschliessen, dass sich Vereinfachungen ( Kürzen, Binom ) etc ergeben könnten.

Weiter im Text: wie schaut es im Fall 0z=0 aus ?

p.s. Wer hat behauptet, dass man ein Übungsblatt an einem Nachmittag schafft? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2012, 22:36

baba2k

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Achso, es gibt also 3 Lösungsmengen?

Mein Stand der Dinge:

Vorher gilt nur (seit ich mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ multipliziert habe): $\begin{eqnarray*} \lambda\not=0 \end{eqnarray*}$

Vereinfachte Gleichungen soweit ich es konnte, ansonsten müsste ich Wolfram Alpha mal fragen?
$\begin{eqnarray*} z=\frac {2}{2\lambda+3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac {2\lambda-2}{2\lambda+3}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac {\frac {2\lambda-4}{2\lambda+3}-1}{2} \end{eqnarray*}$

Ansonsten:

Das Gleichungssystem ist
(i) nicht lösbar wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=-\frac 32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{\} \end{eqnarray*}$

(ii) eindeutig lösbar wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \notin \{3,-\tfrac 32\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L= \{(x,y,z)\in \mathbb R \big| x=\frac {\frac {2\lambda-4}{2\lambda+3}-1}{2} ~\land ~ y=\frac {2\lambda-2}{2\lambda+3}+1 ~\land ~ z=\frac {2}{2\lambda+3} \land \lambda \in \mathbb R \backslash \{0,3,-\tfrac 32 \}\} \end{eqnarray*}$

(iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{x \in \mathbb R \backslash \{0,3,-\tfrac 32 \}\} \end{eqnarray*}$

Wie immer bin ich mir absolut nicht sicher...

P.S: Es ist ja auch schon der 3. Tag (fast komplett), dafür sind aber alle anderen Aufgaben soweit gelöst. smile

smile

Bin aber auch nicht so das Mathe-Genie... Echt super nett, dass du mir so hilfst!

24.10.2012, 23:10

Dopap

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Zitat:

Original von baba2k
(iii) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{x \in \mathbb R \backslash \{0,3,-\tfrac 32 \}\} \end{eqnarray*}$

????

du verwechselst immer stetig Lösungsmenge mit Ausnahmen für den Formparameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Eine Lösungsmenge ist immer eine Menge der Tupel (x,y,z)
Also wenn $\begin{eqnarray*} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$ -unendlicher Fall - dann ist z frei wählbar, z.B. z= t

rekursiv eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} <br /> y=-2t+1<br /> x=\frac t2 +\frac 12<br /> z=t \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} \mathbb L= \{(x,y,z) \big|\vec x = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} \\0.5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \land \quad \lambda =3 ~\land t \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

die Gerade im Raum ist jetzt klar zu erkennen.
Und gewöhne dir gleich eine saubere Darstellung an.
--------------------------------------------------------

Was ist nun noch mit $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

25.10.2012, 00:42

baba2k

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Zitat:

Original von Dopap

rekursiv eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} <br /> y=-2t+1<br /> x=\frac t2 +\frac 12<br /> z=t \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich ist es einfach zu spät, aber irgendwie komme ich
als auf (jetzt 3 mal gerechnet):

$\begin{eqnarray*} x=\frac t2 -\frac 12 \end{eqnarray*}$

Ich habe $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \land z=t \end{eqnarray*}$ hier eingesetzt (noch nicht vereinfachte Form):

$\begin{eqnarray*} x=\frac {-(1-\lambda)\frac {2}{2\lambda+3}-1-\frac {2}{2\lambda+3}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-2t+1 \end{eqnarray*}$ habe ich auch raus

Zitat:

Original von Dopap
Was ist nun noch mit $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig verstehe, sollte es $\begin{eqnarray*} \mathbb L=\{\} \end{eqnarray*}$ sein,
weil man nicht mit 0 Multiplizieren darf?

27.10.2012, 22:47

KannManHierIrgendwas

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Viele Fragezeichen -.-
Ich hoffe ich darf mich mal einklinken, habe die gleiche Aufgabe zu erledigen, aber ab der Faktorisierung verstehe ich ich euren Rechenweg nicht mehr.

Außerdem hatte der Prof doch gezeigt, dass die erw. Koeff. matrix etwa so aussehen soll:

1 * * * * *
0 1 * * * *
0 0 1 * * *

oder so änhlich? Wieso teilt ihr die zeilen nicht durch die erste Spalte, die ungliech 0 ist?

27.10.2012, 22:56

streamer

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RE: Viele Fragezeichen -.-
So mal registriert, dachte eigentlich nicht, dass der Post durchkommt.

Also der erste Schritt für den Gauß-Algorithmus des Professors lautete:
-Suche die erste Spalte der Matrix, die nicht nur Nullen enthält.
-Vertausche Zeilen, so dass links oben ein Element \neq 0 steht.
-Dividiere die erste Zeile durch dieses Element.

Warum habt ihr dies ausgelassen?

habe mir das ganze auch mal in wolframalpha angeschaut... da sieht die Lösung so schön einfach aus(natürlich ohne Rechenweg) unglücklich

unglücklich

Link:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%2By%2Bz%3D0%2C+-2%CE%BBx%2B%CE%BBy%2B9z%3D6%2C+2x%2B2y%2B%CE%BBz%3D1

27.10.2012, 23:01

Dopap

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Zeile durch Spalte verwirrt

verwirrt

was soll das ?

Aber nochmal zurück zu

Zitat:

was ist mit $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ ?

wenn man ganz sicher sein will, was passiert, wenn der Parameterbereich eingeschränkt wird, ist das Original zu Rate zu ziehen:

aus
$\begin{eqnarray*} <br /> 2x+y+z=0<br /> -2\lambda x+\lambda y+9z=6<br /> 2x+2y+\lambda z=1<br /> \end{eqnarray*}$

wird

$\begin{eqnarray*} <br /> 2x+y+z=0<br /> 9z=6<br /> 2x+2y=1<br /> \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 23:55

streamer

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Sorry, ich versteh einfach nur Bahnhof traurig

traurig

Ich schreib einfach nochmal auf was ich hab:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> I: 2x + y + z = 0<br /><br /> II: -2 \lambda x + \lambda y + 9z = 6<br /><br /> III: 2x + 2y + \lambda z= 1<br /><br /> \end{eqnarray*}$

Daraus hab ich eine erw. Koeffizientenmatrix erstellt:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \left(\begin{array}{ccc|c}<br /><br /> 2 & 1 & 1 & 0 \\ <br /><br /> -2 \lambda & \lambda & 9 & 6 \\ <br /><br /> 2 & 2 & \lambda & 1 \\ <br /><br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die 1. Zeile durch 2 geteilt, und die 2. Zeile mit der 3. Zeile vertauscht (so hatte es der Prof. in der Vorlesung gezeigt :/ )

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \left(\begin{array}{ccc|c}<br /><br /> 1 & 0,5 & 0,5 & 0 \\ <br /><br /> 2 & 2 & \lambda & 1 \\ <br /><br /> -2 \lambda & \lambda & 9 & 6 \\ <br /><br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt will ich ja in Richtung der Treppenform kommen, also muss in der 2. Zeile vorne eine 0 stehen. (Wie gesagt, so hats der Prof. gezeigt, ich hab das System vorher nie gesehen)
Ich hab also das -2-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiert:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \left(\begin{array}{ccc|c}<br /><br /> 1 & 0,5 & 0,5 & 0 \\ <br /><br /> 0 & 1 & \lambda - 1 & 1 \\ <br /><br /> -2 \lambda & \lambda & 9 & 6 \\ <br /><br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich das ganze fortgeführt für die 3. Spalte:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> III' = ((2* \lambda) * I ) + III<br /> \end{eqnarray*}$

Da man eine Zeile nur mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren darf, muss hier also gelten:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \lambda \neq 0<br /> \end{eqnarray*}$

(Was dies am Ende für mich bedeutet weiß ich aber noch nicht. Wir untersuchen ja die Lösbarkeit und suchen die Lösungsmenge.
Heißt dies, dass das Gleichungssystem mit lambda=0 nicht lösbar ist und damit eine leere Lösungsmenge hat?)

Damit erhalte ich in der 1. Spalte der 3. Zeile schonmal eine 0.

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \left(\begin{array}{ccc|c}<br /><br /> 1 & 0,5 & 0,5 & 0 \\ <br /><br /> 0 & 1 & \lambda - 1 & 1 \\ <br /><br /> 0 & 2 \lambda & \lambda + 9 & 6 \\ <br /><br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich noch die 2. Spalte der 3. Zeile auf 0 bekommen:
Auch hier gilt dann wohl lambda ungleich 0

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> III'' = ((-2* \lambda)*II')+III<br /> \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich nun:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \left(\begin{array}{ccc|c}<br /><br /> 1 & 0,5 & 0,5 & 0 \\ <br /><br /> 0 & 1 & \lambda - 1 & 1 \\ <br /><br /> 0 & 0 & -2 \lambda^{2} + 3 \lambda + 9 & -2 \lambda+6 \\ <br /><br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Ab hier sieht das ganze schon sehr verwirrend für mich aus, aber ich denke der nächste Schritt sollte nach dem bisherigen System sein, die 3. Zeile durch

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> -2 \lambda^{2} + 3 \lambda + 9 <br /><br /> \end{eqnarray*}$

zu teilen.
Hier muss wohl nun der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> -2 \lambda^{2} + 3 \lambda + 9 \neq 0<br /><br /> \end{eqnarray*}$

sein?

Damit erhalte ich nun hoffentlich:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \left(\begin{array}{ccc|c}<br /><br /> 1 & 0,5 & 0,5 & 0 \\ <br /><br /> 0 & 1 & \lambda - 1 & 1 \\ <br /><br /> 0 & 0 & 1 & \frac{-2 \lambda+6}{-2 \lambda^{2} + 3 \lambda + 9} \\ <br /><br /> \end{array}\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Ich denke mit der letzten Zeile hab ich nun auf irgendeine Weise und mit den beiden ungleich Null Einschränkungen die Variable z als Ergebnis.

Aber was bedeutet das, und was ist der nächste Schritt?

28.10.2012, 00:27

Dopap

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@Streamer: du rollst den ganzen Thread nochmals von vorne auf. Was soll das verwirrt

verwirrt

Lies den Thread einfach von vorne bis hinten.

Alle relevanten Fragen wurden schon behandelt.

28.10.2012, 01:43

streamer

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Naja einen neuen Thread aufmachen hätte es wohl auch nicht gebracht.
Das Problem ist, ab hier verstehe ich es einfach nicht mehr:

Zitat:

Original von Dopap
ganz so schlimm ist es nicht, Faktorisierung:

III.) $\begin{eqnarray*} (\lambda -3)(2\lambda+3)\cdot z=2(\lambda-3) \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es über Lösungsmengen nachzudenken

Fall 1.) für $\begin{eqnarray*} \lambda = 3~ \Rightarrow ~0z=0 \end{eqnarray*}$ Folgerung?

Fall 2.) für $\begin{eqnarray*} \lambda =-\frac 32 \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$ Folgerung?

Fall 3.) $\begin{eqnarray*} \lambda \notin \{0,3,-\frac 32 \} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ...

Es genügt im Moment, die Dimension der Lösungsmenge zu bestimmen, also höchstens z zu bestimmen.

Da sind zuviele Gedankengänge des OP mit den deinen verworren.
Ich greife einfach mal deine 3 Fälle auf:
1. Fall: lösbar, aber nicht eindeutig, denn Null mal eine Zahl ist immer Null. Ist das soweit korrekt?
2. Fall: hier steht 0 * z = -9 ? Das geht nicht, also ist das Gleichungssystem im Falle lambda = (-3/2) nicht lösbar. Kann man das so sagen?
3. Fall: Hier ist denke ich immer eine Lösung vorhanden, also das Gleichungssystem lösbar?

Außerdem was bedeutet der letzte Satz mit den Dimensionen?

In einem späteren Post schreibst du dann wieder:
Wenn lambda=3 ist, dann ist z-beliebig...
Ich steig wie gesagt nicht durch eure Gedankengänge :/

28.10.2012, 02:04

Dopap

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wie gesagt, alles wurde schon behandelt.

Nimm dir doch ein evtl. etwas leichteres Beispiel von einen Linearen Gleichungssystem mit Parameter und starte einen neuen Thread. Wink

Wink

28.10.2012, 02:13

streamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist der Parameter der mir Probleme macht, was nutzt mir da ein leichteres Beispiel?
Aufgaben ohne lambda kann ich lösen.

UND DAS ALLES GESAGT WURDE IST MIR KLAR, ABER DURCH DEN SAUSTALL BLICKT DOCH KEIN MENSCH DURCH!

Vor allem dann, wenn Aussagen die getroffen wurden, 2 Posts später scheinbar wieder geändert werden.

Die scheiße ist einfach, ich habe 4 Seiten Mitschrift aus der Vorlesung und 2 nutzlose (empfohlene!) Fachbücher, in denen zwar der Algorithmus behandelt wird, aber nicht die Abhängigkeit von einem zusätzlichen Parameter.
Euren Wirrwarr kann ich nicht nachvollziehen.
Wie soll ich die Aufgabe also lösen?

Wenn du irgendwo eine andere Aufgabe hast, in der ein Gleichungssystem in Abhängigkeit eines Parameters auf Lösbarkeit untersucht und die Lösungsmenge bestimmt wird, und zwar klar strukturiert von A nach Z, dann immer her damit.
Die Lösung dieser Aufgabe hier is nicht mein Ziel, ich will verstehen wie man es allgemein löst, und das ist hier bisher nicht erkennbar.

28.10.2012, 03:40

streamer

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Meine Fresse, ich habs kapiert nu... dass ihr Mathematiker immer Zwischenschritte weglassen müsst machts wirklich schwer manchmal den Kram nachzuvollziehen.

Das einzige ist noch der Fall lambda = 0.
Das kann ich nicht in den umgeformten Gleichungen behandeln, weil ich dort durch lambda geteilt habe, aber eingesetzt in die ursprünglichen Gleichungen, erhält man wie du schon schriebst:

Daraus sollte sich dann wohl z= (6/9), y = (30/18) und x = ( -21/18) ergeben.
Also auch eindeutig lösbar.

Falls noch jemand ein einfaches, anschauliches Beispiel sucht:
http://www.youtube.com/watch?v=G5QlmusCzIw

28.10.2012, 04:07

Dopap

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Zitat:

Original von streamer
Meine Fresse, ich habs kapiert nu... dass ihr Mathematiker immer Zwischenschritte weglassen müsst machts wirklich schwer manchmal den Kram nachzuvollziehen.

Jeden Zwischenschritt kann man einfach nicht hinschreiben.

Aber schön, dass du den Weg gefunden hast smile

smile

Anscheinend bist du ein wenig gefrustet, aber das waren wir Alle mal bei Studienbeginn.
Das legt sich, oder man gibt auf.

Erstsemester?

--------------------------------------------------

Zur Lösbarkeit: es gibt grundsätzlich keine Lösbarkeitskriterien, die ich im im Sinne eines stumpfen Planes abarbeiten kann.
Es handelt sich immerhin um Mathematik und nicht um Prozentrechnung.

28.10.2012, 12:24

baba2k

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@streamer: Schön das du die Aufgaben hinbekommen hast. Ich hoffe du hast die "Vereinfachungsfehler" von mir gefunden die ich gemacht hatte, hab ich erst im Nachhinein beim aufschreiben gefunden. Also lieber nicht einfach abschreiben und nochmal nachrechnen smile

smile

Ich hab auch ein paar Tage bei der Aufgabe gebraucht.
Nächste Woche einfach ein paar Tage früher anfangen, dann passt das auch smile

smile

Anonsten kann man sich auch die Hörsaalübung nochmal anschauen.

28.10.2012, 20:37

streamer

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Jau, Erstsemester^^
Ich hab nix abgeschrieben, weil ich von Anfang an mit anderen Werten gerechnet hab smile

smile

Ist schon echt schlimm wenn man ausm Fachabi kommt, von dem meisten Kram hat man höchstens mal im Vorkurs was gehört, und in den empfohlenen Büchern steht einfach 0 drinne, was man brauchen könnte.

28.10.2012, 20:39

baba2k

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Ja mit Fachabi ist Lineare Algebra echt nicht einfach. Versuch überall hinzugehen und möglichst vor der Übung schonmal die Aufgaben versuchen zu rechnen, dann wird das schon irgendwie werden smile

smile

//EDIT: Die Bücher sind echt nicht so einfach zu verstehen auf anhieb, aber die Vorlesung ist dieses Jahr echt super verständlich. Also möglichst alles mitschreiben smile

smile

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