Verknüpfungen von Funktionen mit mehreren Variablen

23.10.2012, 19:13

FrankyC

Verknüpfungen von Funktionen mit mehreren Variablen

Meine Frage:
Ich habe eine Frage zu der Aufgabe
Gegeben.: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R\Rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=(x+2,x-3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R^2\Rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(x)=(x,3x) \end{eqnarray*}$ gebildet werden soll $\begin{eqnarray*} f \cdot g \end{eqnarray*}$ (also die Hintereinanderausführung von f & g)

bei der es darum geht die beiden Funktionen zu Verknüpfen bei denen mehrere Variablen vorkommen. Zusätzlich soll der Wertebereich und der Definitionsbereich angegeben werden.

Die Lösung habe ich, diese besagt diese Verknüpfung sei nicht definiert. Aber warum nicht?

Meine Ideen:
Wo ist der Widerspruch wenn der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ liegt und der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ? Der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt ja genauso in $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ und nicht in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Ich meine $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ umfasst doch die Menge $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ weswegen die Verknüpfung doch zulässig sein sollte oder?

23.10.2012, 19:17

Mazze

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Das Problem hier ist dass

$\begin{eqnarray*} (f \circ g)(x) = f(g(x)) \end{eqnarray*}$

ist. Das bedeutet g wird zu erst angewendet. Da g aber in den R² abbildet und f als Definitionsbereich nur R hat, ist $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Allerdings wäre $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ definiert.

Zitat:

ch meine $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ umfasst doch die Menge $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. Denk da nochmal genau drüber nach. R ist eine Menge von Zahlen, R² ist eine Menge von Tupeln.

23.10.2012, 23:01

FrankyC

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Verknüpfungen von Funktionen mit mehreren Variablen
Ha Vielen Dank, super gut erklärt. Sorry das ich mich so spät zurück melde.

Ich dachte die ganze Zeit das f zuerst angewendet wird, dann wäre das "Schema" ja: R -f->R²-g->R².

Dies wäre ja aber dann genau der definierte Fall $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$

Wäre es dann als Kriterium akzeptabel wenn ich sage: der Wertebereich der zuerst ausgeführten Funktion (also bei f: R²) muss Teilmenge des Definitionsbereichs der danach ausgeführten Funktion (also bei g: R²)
$\begin{eqnarray*} W(f)\subseteq D(g) \end{eqnarray*}$
??

Und wäre der folgende Ausdruck richtig(?):

$\begin{eqnarray*} g \circ f =g(f(x))=(x+2,3x-9) \end{eqnarray*}$

Wäre nett wenn mich nochmal jemand auf meine Fehler aufmerksam macht smile

23.10.2012, 23:16

Mazze

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Zitat:

Wäre es dann als Kriterium akzeptabel wenn ich sage: der Wertebereich der zuerst ausgeführten Funktion (also bei f: R²) muss Teilmenge des Definitionsbereichs der danach ausgeführten Funktion (also bei g: R²)

Ja so ist das richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W(f)\subseteq D(g) \end{eqnarray*}$

Kann man so schreiben.

Zitat:

Und wäre der folgende Ausdruck richtig(?):

Japp!

edit :

Halt halt, dass ist falsch. Es ist

$\begin{eqnarray*} g(f(x)) = g(x + 2,x - 3) = (x + 2,3x + 6) \end{eqnarray*}$

achte genau auf die Definition von g !

23.10.2012, 23:41

FrankyC

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Achso ok, wäre g aber wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} g(x,y)=(x,3y) \end{eqnarray*}$ dann wäre doch $\begin{eqnarray*} g(f(x))=(x+2,3x-9) \end{eqnarray*}$ oder?

Ich hab nochmal darüber nachgedacht es müsste wohl eher sein: $\begin{eqnarray*} g(x,x)=(x,3x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g(f(x))=(x+2,3x-9) \end{eqnarray*}$

23.10.2012, 23:43

Mazze

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Zitat:

Achso ok, wäre g aber wie folgt definiert:

Ja, so wäre das richtig!

Zitat:

Ich hab nochmal darüber nachgedacht es müsste wohl eher sein: $\begin{eqnarray*} g(x,x)=(x,3x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g(f(x))=(x+2,3x-9) \end{eqnarray*}$

So wie dein Beitrag vorher da stand war es schon richtig. g ist eine Funktion die zwei Argumente hat. Da die beiden Argumente nicht notwendigerweise gleich sein müssen schreibt man

$\begin{eqnarray*} g(x,y) = (x,3y) \end{eqnarray*}$

23.10.2012, 23:48

FrankyC

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Achso dann hab ich mich also fälschlicherweise davon in die Irre führen lassen, dass in den Argumenten die selbe Variable vorkommt. Ich denke ich habe es soweit begriffen. Vielen Dank!

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