induktionsbeweis

23.10.2012, 17:31	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
induktionsbeweis Hi, Sei n element N > 1. Seien x1, ..., xn positive reelle Zahlenn. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^{n}{(1+x_{j})} > 1+ \sum\limits_{j=1}^{n}{x_j} \end{eqnarray}$ Meine Idee: Induktionsanfang n=2 $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^{2}{(1+x_{j}} = (1+x_{2}) (1+x_{1}) = 1 + x1 + x2 + x1x2 = \sum\limits_{j=0}^{1}{xj} + 1 + x1x2 > 1+ \sum\limits_{j=1}^{2}{xj} \end{eqnarray}$ beim Induktionsschritt habe ich noch keine Ideen mfg
23.10.2012, 22:49	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Induktionsanfang ist schon im Prinzip richtig, aber zwei Dinge gibt es noch: schreibe besser $\begin{eqnarray} x_1 x_2 + 1 + \sum_{j = 1}^n x_j \end{eqnarray}$ , weil bei dem, was Du geschrieben hast, auch $\begin{eqnarray} \sum_{j = 1}^n \left(x_j + x_1 x_2 + 1\right) \end{eqnarray}$ gemeint sein könnte. Und zweitens könnte ich jetzt noch frech fragen, warum die Ungleichung in diesem Falle überhaupt gilt. Zum Induktionsschritt: wie kannst Du denn $\begin{eqnarray} \prod_{j = 1}^{n + 1} (1 + x_j) \end{eqnarray}$ passend umschreiben?
24.10.2012, 06:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@zweiundvierzig Gemäß Konvention zum Gebrauch des Summensymbols ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^{1} x_j + 1 + x_1x_2 \end{eqnarray}$ hier aber tatsächlich korrekt. Es ist eher so, dass anderswo Klammern vergessen werden, wie z.B. bei $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k+1 = \left( \sum_{k=1}^n k \right)+1 \end{eqnarray}$ wenn doch eigentlich $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n (k+1) \end{eqnarray}$ gemeint war.
24.10.2012, 17:15	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
x1 mal x2 müsste größer als null sein, weil es beide positive reelle Zahlen sind. Zum Induktionsschritt fällt mir nur ein $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^{n+1}{(1+x_j)} = \prod\limits_{j=1}^n{(1+x_j)} \; \cdot \; (1+ x_{n+1}) \end{eqnarray}$
25.10.2012, 06:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt kannst du auf $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^n{(1+x_j)} \end{eqnarray}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.
26.10.2012, 09:44	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^n{(1+x_j)} \cdot (1+x_{n+1}) > (1+\sum\limits_{j=1}^nx_j) \cdot (1+x_{n+1}) \end{eqnarray}$
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26.10.2012, 11:04	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und wie geht die Abschätzung weiter?
26.10.2012, 12:17	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} = 1 + x_{n+1} + \sum\limits_{j=1}^nx_j + \sum\limits_{j=1}^n{x_j \cdot x_{n+1}} \end{eqnarray}$ ??
26.10.2012, 12:21	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja...und das sollte am Ende größer als welcher Term sein, damit der Induktionsschritt endgültig getan ist? (siehe Ausgangsaussage)
26.10.2012, 21:27	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1+x_{n+1} + \sum\limits_{j=1}^nx_j + \sum\limits_{j=1}^n{x_j \cdot x_{n+1}}= 1 + \sum\limits_{j=1}^{n+1}x_j + \sum\limits_{j=1}^n{x_j \cdot x_{n+1}} > 1 + \sum\limits_{j=1}^{n+1}x_j \end{eqnarray}$
26.10.2012, 22:23	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
26.10.2012, 22:29	deserto12	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für eure Hilfe
26.10.2012, 22:33	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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