Beweis für Injektivität, Surjektivität -> so korrekt? |
| 23.10.2012, 21:13 | ascer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis für Injektivität, Surjektivität -> so korrekt? ich würde gerne wissen, ob mein Beweis so als Lösung und auch formal korrekt ist:  http://www.abload.de/img/codecogseqn11vxw9.gifAnmerkung: Da es schon spät ist, hab ich ganz am Ende einen Fehler in der Begründung gemacht...da sollte stehen da man dann Z -> Z annehmen kann und die Mengen die gleiche Kardinalität haben und dann im Prinzip halt f(n)=n gilt, ist Surjektivität auf jeden Fall gegeben...der Hinweis mit der Injektivität hat da natürlich nichts zu suchen^^ Der Gedankengang war einfach, dass erstmal Injektivität widerlegt wird anhand eines Widerspruchs und danach die Surjektivität einfach daran gezeigt wird, dass man ja z.B. m = 0 annehmen kann und dann alle Tupel mit (n,0) bildet, welches für n dann ja ganz Z ist. Damit kommt man dann ja darauf, dass f(n,0) = n also im Prinzip f(n) = n ist und da die Mengen die gleiche Kardinalität aufweisen, muss Surjektivität gewährleistet sein... ist das so korrekt? grüße & Danke im Voraus! ascer |
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| 23.10.2012, 21:27 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis für Injektivität, Surjektivität -> so korrekt? Surjektivität ist korrekt bewiesen worden und Injektivität korrekt wiederlegt worden. 
Den letzten Satz da unten, wo du irgendwie mit Kardinalität anfängst, streich am besten wieder komplett raus. Das ist total falsch, so kann man bei endlicher Kardinalität argumentieren. Die Aufgabe ist doch ohne diesen letzten Satz schon vollständig gelöst, auch mit der Surjektivität warst du doch auch vorher schon längst fertig. Du brauchst den Begriff der Kardinalität gar nicht. Edit: Damit wir uns richtig verstehen: Auch wenn man das mit der Injektivität da unten weglässt, ist das immer noch falsch. Denn sonst müsste es nach der Logik auch eine surjektive Abbildung geben. Gibt's aber nicht. |
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| 23.10.2012, 21:36 | ascer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also reicht die Schlussfolgerung, dass man auf f(n)=n kommen bei Z -> Z schon aus, dass Surjektivität gezeigt wurde? Warum kann man nicht über die Kardinalität argumentieren? Ich dachte eigentlich, dass das nur deshalb schlüssig ist, weil ich zum einen weiß, dass ich f(n)=n annehmen kann, also keine Elemente in der Bildmenge "übergangen" werden (wie das z.B. bei f(n)=5n + 1 der Fall wäre um einfach irgend ein Beispiel zu nennen, wo das nicht funktionieren würde) und weil ich eben weiß, dass beide Mengen gleich viele Elemente haben, nämlich unendlich viele... |
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| 23.10.2012, 23:20 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ausreicht, ist, dass du für jede ganze Zahl ein konkretes Urbild angegeben hast. Denn du hast gezeigt, dass für jede ganze Zahl n ein Urbild gegeben ist durch das Zwei-Tupel (n,0). Was willst du denn noch mehr? Das reicht doch. Jedes Element im Bild wird mindestens einmal getroffen.
Ich denke, du hast Probleme mit dem Begriff "unendlich". Sind zwei Mengen gleichmächtig, existiert eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen (insbesondere also natürlich auch eine surjektive Abbildung). Aber wenn zwei Mengen beide unendlich viele Elemente enthalten, müssen sie noch lange nicht die gleiche Kardinalität/Mächtigkeit besitzen. Ein Beispiel dazu habe ich dir ja schon genannt. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, trotzdem wirst du keine surjektive Abbildung von IN nach IR basteln können. Weil IN und IR nicht die gleiche Mächtigkeit besitzen, obwohl beide Mengen ja unendlich viele Elemente enthalten. Ich werfe dazu nochmal die Begriffe "abzählbar" und "überabzählbar" in den Raum. Man nennt eine Menge abzählbar, wenn sie die gleiche Mächtigkeit wie IN besitzt, wenn es also eine Bijektion zwischen dieser Menge und IN gibt. Aber IR ist nicht abzählbar. Dass IZ und IZ indes gleichmächtig sind, ist klar, denn es sind ja beides genau die gleichen Mengen. Aber das heißt ja nicht, dass JEDE Abbildung von IZ nach IZ surjektiv ist. Entscheidend ist hier nur, dass es mindestens eine bijektive Abbildung von IZ nach IZ gibt. Ich kann ja auch die Abbildung definieren. Die bildet von IZ nach IZ ab, ist aber weder injektiv, noch surjektiv. |
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| 23.10.2012, 23:47 | ascer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vielen Dank! Das hat "Klick" gemacht
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