vollständige Induktion

23.10.2012, 22:24

gastzuhaus

vollständige Induktion

Meine Frage:
beantworte folgende frage durch vollst. induktion.
ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} x_{n}= \frac{1}{\sqrt{5} } ((\frac{1+ \sqrt{5} }{2})^n -(\frac{1-\sqrt{5} }{2})^n) \end{eqnarray*}$ immer eine natürliche zahl?

Meine Ideen:
Induktionsanfang ist klar und geht auch induktionsvorraussetzung habe ich Behauptet, dass der term gleich m ist, wobei m eine natürliche zahl ist.

dann begonnen mit xn+1. hier habe ich eine rekursion verwendet mit xn+2= xn+1 + xn => xn+1= xn+2 - xn

xn war ja die IV also folgt mittels dieser : xn+1 = xn+2 - m , m aus N

dann habe ich begonnen zu rechnen:
zu zeigen ist, dass xn+1 = m oder ein vielfaches mit einer natürlichen zahl m*a mit m und a aus N ist. da das produkt zweier natürlicher zahlen wieder eine natürliche zahl ist.
durch die rekursion gibt sich:

xn+1= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{5} }((\frac{1+\sqrt{5} }{2 })^{n+2} -(\frac{1+\sqrt{5}}{2 })^{n+2}))- m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(\frac{1}{\sqrt{5} }(\frac{1+\sqrt{5} }{2 })^{n+2} -\frac{1}{\sqrt{5} }(\frac{1-\sqrt{5}}{2 })^{n+2})- m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(\frac{1}{\sqrt{5} }(\frac{1+\sqrt{5} }{2 })^{n}(\frac{1+\sqrt{5} }{2 })^{2} -\frac{1}{\sqrt{5} }(\frac{1-\sqrt{5}}{2 })^{n}(\frac{1-\sqrt{5}}{2 })^{2})- m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\frac{1}{\sqrt{5} }(\frac{1+\sqrt{5} }{2 })^{n}(\frac{3 }{2 }) -\frac{1}{\sqrt{5} }(\frac{1-\sqrt{5}}{2 })^{n}(\frac{3}{2 }))- m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(\frac{3}{2 }(\frac{1}{\sqrt{5} }((\frac{1+\sqrt{5} }{2 })^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2 })^{n}) -m \end{eqnarray*}$

jetzt wende ich die IV an und setze m ein.

$\begin{eqnarray*} =\frac{3}{2}\cdot m -m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =m\cdot (\frac{3}{2}-1)= \frac{1}{2} m \end{eqnarray*}$

was ja nicht sein darf, da 1/2 kein element aus N ist.

ich MUSS aber irgendwo einen fehler gemacht haben. ich glaube mein gnzer ansatz ist falsch aber ich komme auf keinen anderen smile

könntet ihr mir helfen?

23.10.2012, 22:41

Helferlein

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RE: vollständige Induktion

Zitat:

Original von gastzuhaus
xn war ja die IV also folgt mittels dieser : xn+1 = xn+2 - m , m aus N

Verstehe ich das richtig: Du willst die Aussage für n+1 zeigen, indem Du sie für $\begin{eqnarray*} x_{n+2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ annimmst? Wie soll das funktionieren?

23.10.2012, 22:44

Mystic

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RE: vollständige Induktion
Hm, ich fürchte, da ist einiges schiefgelaufen... geschockt

Zunächst meine erste Empfehlung, die alles gleich einmal sehr viel einfacher macht: Schreib

$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac {1+\sqrt 5}2, \quad \beta = \frac {1-\sqrt 5}2 \end{eqnarray*}$

und verwende auschließlich, dass

$\begin{eqnarray*} \alpha^2=\alpha+1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \beta^2=\beta+1 \end{eqnarray*}$ ...

Setze weiters die Gültigkeit von

$\begin{eqnarray*} x_k=\frac 1{\sqrt 5}(\alpha^k-\beta^k) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} k \le n \end{eqnarray*}$ voraus und beweise dann mit der Rekursionsformel

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n+x_{n-1} \end{eqnarray*}$

ihre Gültigkeit auch für n+1...

Edit: Sorry, Helferlein, ich zieh mich dann hier zurück... Wink

24.10.2012, 13:06

gastzuhaus

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RE: vollständige Induktion
auf unserem zettel stand : verwende die rekursion xn+2= xn+1 + xn

daraus habe ich geschlussfolgert, dass xn+1 = xn+2 - xn ist

xn war aber meine IV mit m aus N also: xn+1 = xn+2 -m
.. ist mit sicherheit falsch.. obwohl heute eine komillitonin meinte, dass die behauptung xn= ... sei eine nat. zahl für n größer als 49 nicht mehr gilt.

und das habe ich ja durch die induktion dann gezeigt... aber die schritte sind wahrscheinlich sowieso falsch, wodurch der beweis natürlich ungültig wird.

tschuldige, habe momentan nur eine hand zum schreiben

24.10.2012, 13:25

Helferlein

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Da n+2>n+1 weisst Du zu dem Zeitpunkt doch gar nicht, ob die Formel für n+2 korrekt ist. Du willst es doch erst für n+1 beweisen. Daher ist die Umformung unbrauchbar.
Den richtigen Weg hat Dir Mystic schon gut beschrieben.

Die Rekursion $\begin{eqnarray*} x_{n+2}=x_{n+1}+x_n \end{eqnarray*}$ muss genau in dieser Form auch einfliessen. Umgeformt ist sie nutzlos.

24.10.2012, 13:37

gastzuhaus

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ich dachte, da es eine gleichung ist, kann ich das einfach umformen nach xn+1.

okay vielen dank euch, dann versuch ich es nochmal smile

24.10.2012, 14:40

Mystic

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@gastzuhaus

Du kannst natürlich statt meinem Vorschlag, nämlich in

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n+x_{n-1} \end{eqnarray*}$

einzusetzen, auch in

$\begin{eqnarray*} x_{n+2}=x_{n+1}+x_n \end{eqnarray*}$

einsetzen, falls dir dies aus irgendeinem Grunde sympathischer ist.. Wichtig ist, dass du in beiden Fällen die Gültigkeit der Formel für die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ auf den jeweils rechten Seiten der Gleichung voraussetzen musst und damit dann zeigen sollst, dass sie auch für das Folgenglied auf der linken Seite der Gleichung stimmt...

Und ja, noch was: Falls du meinen Vorschlag mit obigen Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ aufgreifst, so dürfen dann in der ganzen Rechnung keine (!) Wurzeln mehr vorkommen (außer allenfalls im Nachweis, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ tatsächlich Lösungen von x²=x+1 sind, falls du das noch überprüfen willst!), sonst hast du irgendwas falsch gemacht!!!

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