Galoisgruppe

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe
Kann mir jemand sagen, ob die Galoisgruppe von x^n - 1 isomoprph zur zylischen Gruppe der Ordnung k ist, wobei k der Grad des Kreisteilungspolynoms von x^n-1 ist. Augenzwinkern
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine,

du musst uns noch dazusagen, über welchem Körper du dieses Polynom betrachtest.
Je nachdem, welchen Grundkörper du hast, bekommst du andere Galoisgruppen.
Und schreib uns noch dazu, wie bei dir die Galosgruppe eines Polynoms definiert ist.

Lieben Gruss,
Irrlicht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

K ist ein Körper mit char(K) teilt nicht n (f=x^n-1)
Gal(f,K) = Aut(L,K), wobei L der Zerfällungskörper von f ist und [L:K] = k = grad(n-tes Kreisteilungspolynom)

Besser so? traurig
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine,

Viel besser so! So macht das erst Sinn.

Wegen der Voraussetzung an die Charakteristik kannst du folgern, dass f separabel ist. Da L/k ausserdem endlich ist (L entsteht durch Adjunktion einer primitiven n-ten Einheitswurzel an k), ist L als Zerfaellungskoerper eines separablen Polynoms galoissch.

Wenn du weisst, dass das Kreisteilungspolynom ueber k (in deinen Faellen) irreduzibel ist, dann sind wir bald fertig. Weisst du das denn? (Ich frag jetzt lieber da nach, weil ich in meiner Vorlesung nur den Fall k=Q gemacht hab.)

Lieben Gruss,
Irrlicht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Servus,

also sei das n-te Kreisteilungspolynom über K irreduzibel. Ist dann Gal(L/K) zyklisch mit ordnung k= grad des KT-Polynoms? unglücklich
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine,

Also ist das deine Voraussetzung? Offenbar. Dann koennen wir zeigen, dass die Galoisgruppe isomorph zu (Z/nZ)* ist. Aber (Z/nZ)* ist nicht immer zyklisch.

Soll ich dir die Beweisskizze fuer die Isomorphie zu (Z/nZ)* geben?
Die ginge so:
Die Elemente der Galoisgruppe sind eindeutig bestimmt durch das Bild des primitiven Elements z und der Eigenschaft, ein Koerperautomorphismus zu sein. Da fuer einen Koerperautomorphismus g das Bild g(z) auch eine ............ n-te ............... ist, haben wir genau Koeperautomorphismen, gegeben durch , wobei m zu n ................ ist.
Die Abbildung ist dann ein wohldefinierter ............homomorphismus, der ............. ist. Wegen der Endlichkeit der Gruppen ist sie auch .............

Lieben Gruss,
Irrlicht
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Servus,

wann ist denn (Z/nZ)* nicht zyklisch? Ich dachte die Formulierung Cn (so steht das in meinem Skript) wäre zyklisch und nur eine andere schreibweise für Z/nZ oder Zn. Hilfe
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine,

Mit (Z/nZ)* meine ich die multiplikative Gruppe des Ringes Z/nZ. Die zyklische Gruppe C_n ist die additive Gruppe des Ringes Z/nZ. Diese additive Gruppe ist immer zyklisch, aber die mutliplikative Gruppe ist es nicht immer. Die Galoisgruppe ist nun aber im Falle der Irreduzibilität des Kreisteilungspolynoms isomorph zur multiplikativen Gruppen von Z/nZ und damit nicht notwendig zyklisch.

Was sollst du denn genau zeigen? Schreib mal die ganze Aufgabe hier herein. (Bitte nichts vergessen! Augenzwinkern ).

Lieben Gruss,
Irrlicht

PS.: Ich weiss, dass Galoistheorie nicht ganz einfach ist für jemanden, der es zum ersten Mal hört.

EDIT: Ich verschieb das Thema mal in die Hoehere Mathematik
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Halllo Irrlicht,

vielen Dank für die Mühe. Ich hatte keine konkrete Aufgabe, sondern mir sind bei der Klausurvorbereitung so einige Fragen gekommen.
Und da stellte sich eben auch die Frage nach "schönen Galoigruppen". Hatte dazu einen Satz gefunden, der im Skript etwas "schwammig" formuliert war. Eine bessere Version habe ich in einem Buch gefunden. Das Hauptproblem wird in der Praxis dann wohl sein, die Kreisteilungspolynome über endlichen Körpern auf Irreduzibilität zu überprüfen.

Gruß,
Tigerbine Wink
ywa Auf diesen Beitrag antworten »

hab den fred bei google gefunden, also vielleicht ist der schon alt, aber trotzdem...

eine frage zu den zyklischen gruppen:

es gibt bis auf isomorphie nur die zyklischen gruppen Z und Z/mZ und ferner ist jede untergruppe einer zyklischen gruppe auch zyklisch, schließich bilden einheiten eine gruppe

dann muss doch (Z/mZ)* immer zyklisch sein???
ywa Auf diesen Beitrag antworten »

ok, war quatsch

es gilt zyklisch und endlich => isomorph zu Z/m
sowie zyklisch und unendlich => isomorph zu Z

aber nicht "<=" !!!

richtig ist:

(Z/m/)* zyklisch <=> m = 1,2,4,p^n,2p^n mit p prim und ungerade und natürlichem n
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