symmetrische und idempotente Matrix

24.10.2012, 11:52

ChronoTrigger

symmetrische und idempotente Matrix

Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Zitat:

Gegeben sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{p \times p} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:
Ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch und idempotent, so sind sowohl $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} I_n - A \end{eqnarray*}$ jeweils positiv semidefinit.

Ich habe bereits zeigen können, dass A positiv semidefinit ist, d.h. $\begin{eqnarray*} x^T A x \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Der zweite Teil macht mir aber noch Probleme.

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} x^T (I_n - A)x = x^T I_n x - x^T A x \stackrel{A^2=A}{=} x^T x - x^T A^2 x \stackrel{A^T=A}{=} x^T x - x^T A^T \underbrace{A x}_{=:y} = x^T x - y^T y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{i=1}^n (x_i^2 - y_i^2) \end{eqnarray*}$

Nun das Problem: wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (x_i^2 - y_i^2) \geq 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_i^2 \geq y_i^2 \quad \forall i=1,\dots,p \end{eqnarray*}$ gilt?

danke schonmal im voraus.

24.10.2012, 11:59

Mystic

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RE: symmetrische und idempotente Matrix

Zitat:

Original von ChronoTrigger
Ich habe bereits zeigen können, dass A positiv semidefinit ist, d.h. $\begin{eqnarray*} x^T A x \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Der zweite Teil macht mir aber noch Probleme.

Irgendwie versteh ich deine Probleme nicht, denn wenn du dies für A schon bewiesen hast, dann gilt dies doch auch für $\begin{eqnarray*} I_n-A \end{eqnarray*}$ , das doch auch symmetrisch und idempotent ist, automatisch oder etwa nicht? verwirrt

24.10.2012, 12:04

ChronoTrigger

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danke, das hatte ich gar nicht gesehen smile

damit ist die Aussage klar.

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