Definition - Differenzierbarkeit

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bew_db Auf diesen Beitrag antworten »
Definition - Differenzierbarkeit
Hallo,
ich habe eine Frage zur Definition der Ableitung einer Funktion.
Eine mögliche Definition ist diese hier:
, heißt differenzierbar in , wenn
in existiert.
In obiger Definition muss vorausgesetzt werden, dass , da man sonst durch 0 teilen würde.
Nun bildet man aber den Grenzwert von x gegen , was im Endeffekt bedeutet man setzt in x ein.
Und genau darin liegt doch ein Widerspruch zu der Voraussetzung , oder nicht?

Viele Grüße
bew_db
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition - Differenzierbarkeit
Zitat:
Original von bew_db
Nun bildet man aber den Grenzwert von x gegen , was im Endeffekt bedeutet man setzt in x ein.

Genau das bedeutet es eben nicht. Bei der Grenzwertbildung geht x beliebig nahe an x_0 heran, wobei nur die x betrachtet werden, die auch im Definitionsbereich liegen. Und wenn (wie hier) x_0 nicht in D liegt, dann kann man das natürlich nicht für x einsetzen.
bew_db Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist meiner Meinung nach falsch, da man hier tatsächlich den Grenzwert und nicht irgendeine beliebig nahe an liegende Zahl für x einsetzt. Das kann ich mit folgendem Beispiel auch zeigen:


Würde man bezüglich des Beispiels hier also nur eine beliebig nahe an x liegende Zahl in z einsetzen, wäre der vorletzte Schritt () nicht erlaubt. Tatsächlich setzt man aber den Grenzwert, also x, in z ein und erhält so die Ableitung.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Daß dieses Verfahren häufig funktioniert, ist kein Beweis, daß es grundsätzlich richtig ist.
Ich definiere mal folgende Funktion:



Was ist nun ?
bew_db Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist durchaus klar, dass man bei Grenzwertbetrachtungen nicht immer einfach die Zahl/Variable rechts vom Pfeil in die betrachtete Variable einsetzen kann, das sieht man auch an deinem Beispiel.
Ich sehe jedoch keinen Fehler (ausser eben mein oben geschildertes Problem) in meinem Beispiel und verstehe nicht wieso die Voraussetzung nach dem vorletzten Schritt nicht verletzt ist. Es würde mich freuen, wenn wir uns bei der Diskussion auf das von mir gepostete Beispiel beziehen könnten, da man dort mein Problem sehr gut erkennen kann und ich es so wohl am bestehen verstehe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm. So ganz verstehe ich dein Problem jetzt nicht. Daher nochmal ein paar Anmerkungen:

1. Erstmal hast du gesagt, daß mein Grenzwert-Verständnis falsch ist. Ich habe aber letztlich nur das wiedergegeben, was du hier findest:
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)

2. Das Verfahren, daß man für x das x_0 einsetzt, funktioniert nur unter gewissen Bedingungen:

Bei geht das nicht. Aber für x ungleich x_0 kann man äquivalent umformen:



Auf der rechten Seite steht nun ein Polynom. Und da Polynome überall stetig sind, kann man für x das x_0 einsetzen.
 
 
bew_db Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Bei geht das nicht. Aber für x ungleich x_0 kann man äquivalent umformen:



Auf der rechten Seite steht nun ein Polynom. Und da Polynome überall stetig sind, kann man für x das x_0 einsetzen.


Das beschreibt mein Problem sehr gut, Anfangs haben wir , wir müssen also voraussetzen, dass , wie du ja auch schreibst.
Nach der Umformung haben wir und du schreibst "nun kann man für x das x_0 einsetzen", wieso dürfen wir das? Wir haben doch Anfangs die Annahme getroffen!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich die Grenzwertdefinition genau anschaut (siehe Wiki-Link), dann ist eben . Das sieht dann so aus, als hätte man in x das x_0 eingesetzt. Dennoch hat man lediglich die Grenzwertdefinition angewendet.

Muß jetzt aber Schluß machen. Schaue morgen nochmal rein.
bew_db Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht, wieso sollte es nur so aussehen? Es gibt keine Variable, die man zu x_0 addieren kann und dann 2*x_0 erhält, ausser eben x_0. Und das lässt für mich nur einen Schluss zu, die Bedingung wurde verletzt.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition - Differenzierbarkeit
Zitat:
Original von bew_db
, heißt differenzierbar in , wenn
in existiert.

Da steht nur, dass der Grenzwert existieren muss! Irgendwie scheinst du hier davon auszugehen, dass dieser Term bei definiert sein muss. Ist aber gar nicht verlangt. Wäre auch unsinnig, denn sonst könnte man überhaupt keinen Differentialquotienten definieren.

Wenn bei der Funktion



der Grenzwert an der Stelle existiert, kannst du diese Funktion an dieser Stelle stetig fortsetzen und nichts anderes passiert, wenn du da die Linearfaktoren bei deinem Beispiel auskürzt. Und dieser Grenzwert entspricht dann der formalen Ableitung von an der Stelle .

So richtig verstehe ich auch nicht, wo es bei dir grad noch hakt... verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@bew_db

Man muss nicht "einsetzen", man wendet die bekannten Grenzwertsätze für Summen bzw. Produkte an (hier allerdings reicht der für Summen):

.

Falls du natürlich schon in Zweifel ziehst, dann haben wir hier wirklich ein gewaltiges Erklärungsproblem. Big Laugh
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