links- und rechtsseitiger Grenzwert

Neue Frage »

Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »
links- und rechtsseitiger Grenzwert
Ich möchte von folgender Funktion den links- und rechtsseitigen Grenzwert berechnen.



auf ihrem Definitionsbereich R.




Sei nun dann gilt

Ich betrachte also die Stellen für die x eine ganze Zahl ist.




Sind meine Überlegungen bis hierhin richtig? Wie könnte ich den anderen berechnen?


Viele Grüße,
Christian
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christian_P
Ich möchte von folgender Funktion den links- und rechtsseitigen Grenzwert berechnen.

Deine Formeln sehen aber nicht danach aus, sondern eher nach der links- und rechtsseitigen Ableitung. verwirrt
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Sorry klar!

Ich meine die links- und rechtsseitige Ableitung. Augenzwinkern
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte vielleicht jemand einen Tipp?

danke.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: links- und rechtsseitiger Grenzwert
Zitat:
Original von Christian_P


(ich habe überall das durch ersetzt)

Dies ist schon mal nicht richtig.

Der linksseitige Grenzwert der Ableitung ist anders definiert:


Dies ist ein doppelter Limes, einerseits wegen des linksseitigen Grenzwertes, andererseits wegen der Definition der Ableitung.

Bei hinreichend kleinem gilt .
Dadurch wird der Zähler im Differenzenquotienten 0.

Gruß
Peter
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

danke sehr.

Ich habe vielleicht etwas begrifflich durcheinanderbebracht.

Es geht um die links- und rechtsseitige Ableitung (einseitige Ableitungen).



Ich bin mir da unsicher: wenn dann geht auch der Nenner gegen Null. Hätte ich dann nicht einen unbestimmten Ausdruck?


Viele Grüße und danke für deine Hilfe! smile
 
 
Causal Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg mal, warum du den limes nicht einfach reinziehen darfst... (Tipp: Stetigkeit)

Gruß, Causal
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Danke!

Ja, floor ist unstetig an den stellen wo x aus Z ist.

Ich weiß gerade aber nicht wie mir das helfen könnte.

lg
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe schon verstanden, wonach gefragt ist.

Wenn der Zähler unabhängig vom Limes 0 ist, dann ist der Limes immer 0, auch wenn der Nenner erst im Limes gegen 0 geht. Dies kannst du dir klar machen, wenn du die Entwicklung des Terms, von dem der Limes genommen wird, für eine Folge von betrachtest, die aber immer mehr gegen 0 geht: der Quotient ist immer 0, wenn der Zähler konstant 0 ist.

Gruß
Peter
Causal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch nicht an deiner Kompetenz gezweifelt, RavenOnJ..

Falls du mich damit meintest...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Causal
Nein, ich hatte nicht dich gemeint Wink . Christian meinte nochmal erläutern zu müssen, worum es ihm geht.

Zitat:
Es geht um die links- und rechtsseitige Ableitung (einseitige Ableitungen).

Mir war das schon klar.

Gruß
Peter
Causal Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann haben wir uns missverstanden Big Laugh
Mische mich auch nicht weiter ein smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christian_P


Wenn , dann darfst du das nicht machen. Dies geht nur, wenn an der Stelle differenzierbar ist.

Gruß
Peter
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

morgen!

aha, du meinst, wenn bei hinreichend kleinem dann gilt, ist der Nenner "vorher" schon Null.

floor ist ja ungefähr so definiert:




also ein negatives

Zahlenbeispiel: und



im Gegensatz dazu ist

Da von links und von rechts gegen Null geht, ist es mal positiv und mal negativ. Kann ich also die obige Aussage als richtig ansehen?


Grüße
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: links- und rechtsseitiger Grenzwert
Zitat:
Original von RavenOnJ
Der linksseitige Grenzwert der Ableitung ist anders definiert:


Dies ist ein doppelter Limes, einerseits wegen des linksseitigen Grenzwertes, andererseits wegen der Definition der Ableitung.


Denk bitte darüber noch mal nach. Und lies dir mein letztes Posting genau durch: Wenn an der Stelle nicht differenzierbar ist (und das ist bei der floor-Funktion für alle ganzzahligen der Fall), dann darfst du nicht einfach den Differenzenquotienten bilden. Ist die Funktion an der Stelle nicht stetig, so wie hier, dann sollte das klar sein. Aber selbst, wenn sie stetig ist, stimmen links- und rechtsseitige Ableitung unter Umständen nicht überein, wie z.B. bei an der Stelle . Deswegen muss man für die linksseitige Ableitung den komplizierteren Weg über gehen (man kann das auch so schreiben: , d.h. nähert sich von unten, vielleicht ist das visuell eingängiger). Analoges gilt für die rechtsseitige Ableitung.

Zu deiner (falschen) Defintion der floor-Funktion sag ich jetzt nur, dass es keine "ungefähren" Definitionen gibt.

Gruß
Peter
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.


Der Doppelte Grenzwert ist mir nicht bekannt.




Das ist die Definition, die mir gegeben wurde.




entsprechend für


In den Beispiel in der Vorlesung konnte die einseitige Ableitung damit ohne Probleme ermittelt werden.



mal bei da ist aber unstetig, also ist dort nicht differenzierbar.




Wie gehe ich hier denn nun praktisch vor?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe dir den praktischen Weg aufgezeigt. Ich möchte mich da nicht nochmal wiederholen. Deine Definition der linksseitigen Ableitung funktioniert nur, wenn y(x) an dieser Stelle stetig ist. Dies ist sie aber für ganzzahlige x bei der floor-Funktion nicht. Trotzdem existiert der linksseitige Grenzwert, aber nur im limes gegen den ganzzahligen Wert. Das Problem bei dieser Funktion ist, dass sie nur stetig auf offenen Intervallen ist und zwar auf für .

Gruß
Peter
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Erklärungen! smile


Das mit dem Problem der Stetigkeit habe ich nun verstanden ( ist eigentlich auch logisch!).


Dennoch ist die Lösung auf dem Papier in weiter Ferne!


Ich kenne keinen Doppelten Limes und ich weiß auch nicht, wie man einen solchen bilden soll. Dieses Hilfsmittel steht mir gar nicht zu Verfügung, dann das hatten wir noch gar nicht!

Also muss es auch eine anderen Weg geben bzw. meine mir gegebene Defintion von meinem Prof muss auch zu was nütze sein.



für hinreichend kleines Delta x. Das währe ein Ansatz, den du schon genannt hast. Der ist aber mir aber nicht vollständig klar, da mich die negativen kleinen Zahlen nahe Null irritieren, wo floor eine -1 zurück gibt.


Wenn der Zähler Null ist würde auch die anschaulich logische Steigung 0 herauskommen, denn für die Geradenabschnitte (eine Konstante) ist die Ableitung immer 0. Soweit ist mir das klar.


Viele Grüße,
Christian
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »