Reflexivität Banachraum

24.10.2012, 17:29	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Reflexivität Banachraum Meine Frage: Zeigen Sie: Ein Banachraum X ist genau dann reflexiv, wenn der Dualraum X' reflexiv ist. Meine Ideen: Also mal die Hin-Richtung: Sei X reflexiv, das heißt die kanonische Einbettung $\begin{eqnarray} i_X\colon X\to X'' \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x'(x) \end{eqnarray}$ abbildet, ist isometrischer Isomorphismus. Jetzt muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} i_{X'}\colon X'\to X''' \end{eqnarray}$ auch isometrischer Isomorphismus ist. Also daß die Einbettung eine Isometrie (und also insbesondere injektiv ist), haben wir allgemein in der Vorlesung gezeigt. Ich muss also "nur noch" die Surjektivität zeigen. Sei $\begin{eqnarray} x'''\in X''' \end{eqnarray}$ , dann muss ich jetzt ein $\begin{eqnarray} x'\in X' \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} i_{X'}(x')=x''' \end{eqnarray}$ Gibts da einen Trick, so ein Element zu finden? ________________________________________________________________________ Ich glaube, $\begin{eqnarray} x'\colon X\to\mathbb{R}, x\mapsto x'''(i_X(x)) \end{eqnarray}$ tut's. Ist diese Funktion $\begin{eqnarray} x'\in X' \end{eqnarray}$ , also linear und stetig? Ich würd sagen ja, weil doch x''' als Element des Tridualraums $\begin{eqnarray} X''' \end{eqnarray}$ stetig und linear ist? ---- Es gilt dann doch für obiges $\begin{eqnarray} x' \end{eqnarray}$ , weil wegen der Reflexivität (d.h. hier der Bijektivität der kanonischen Einbettung $\begin{eqnarray} i_X\colon X\to X'' \end{eqnarray}$ ) doch jedes $\begin{eqnarray} x''\in X'' \end{eqnarray}$ geschrieben werden kann als $\begin{eqnarray} x''=i_X(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x'''(x'')=x'''(i_X(x))=x'(x)=(i_X(x))(x')=x''(x') \end{eqnarray}$ Und damit ist doch $\begin{eqnarray} x'''=i_{X'}(x') \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} x'\in X' \end{eqnarray}$ ? Oder wo liegt evtl. ein Denkfehler? edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
24.10.2012, 20:01	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, jap ist alles richtig. mfg
24.10.2012, 20:47	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rückrichtung - wie kann man die zeigen? Ich habe keine so richtige Idee. Ich habe wohl in der Literatur gesehen, dass man da einen Satz mit Abgeschlossenheit verwenden kann, aber diesen Satz hatten wir nicht und ich möchte ihn deswegen - wenn möglich - nicht so gerne benutzen. Vielleicht kann man das auch wieder "zu Fuß" machen? Sei also $\begin{eqnarray} i_{X'}\colon X'\to X''' \end{eqnarray}$ isometrischer Isomorphismus. Zeige, daß $\begin{eqnarray} i_X\colon X\to X'' \end{eqnarray}$ surjektiv ist, daß es für $\begin{eqnarray} x''\in X'' \end{eqnarray}$ also ein $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} i_X(x)=x'' \end{eqnarray}$ ? Muss man nun vllt. ausnutzen, daß aufgrund der Voraussetzung jedes $\begin{eqnarray} x'\in X' \end{eqnarray}$ die Darstellung $\begin{eqnarray} x'=i_{X'}^{-1}(x''') \end{eqnarray}$ hat?
25.10.2012, 20:21	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also den einzigen Beweis den ich kenne geht in etwa so. Angenommen $\begin{eqnarray} X' \end{eqnarray}$ ist reflexiv, dann ist nach dem eben bewiesenen auch $\begin{eqnarray} (X')' = X'' \end{eqnarray}$ reflexiv. Nun ist $\begin{eqnarray} i_X(X) \subset X'' \end{eqnarray}$ als abgeschlossener Unterraum eines reflexiven Raumes selbst wieder reflexiv. Da $\begin{eqnarray} X \simeq i_X(X) \end{eqnarray}$ gilt, muss auch $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ reflexiv sein. Nun könnte man teile der Behauptungen ausfüllen. mfg

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