Die Summe der Quadratzahlen

24.10.2012, 18:03	Blader	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Summe der Quadratzahlen Meine Frage: Wie bestimme ich die Summe aller quadratzahlen \sum\limits_{k=1}^n k^2 mit der Formel (diese soll benutzt werden) (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 und ich solle über k summieren... Meine Ideen: keine
24.10.2012, 18:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tipp ist sicher so zu verstehen, dass du zunächst $\begin{eqnarray} (1)\qquad \sum_{k=1}^n (3k^2+3k+1) = \sum_{k=1}^n ((k+1)^3-k^3) = (n+1)^3-1 \end{eqnarray}$ als Teleskopsumme erkennst. Wie kommt man nun von $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n (3k^2+3k+1) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray}$ ? Nun, ich nehme an, dir sind die Summenformeln $\begin{eqnarray} (2)\qquad \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ (kleiner Gauß) $\begin{eqnarray} (3)\qquad \sum_{k=1}^n 1 = n \end{eqnarray}$ (trivial) bekannt? Nun kann man (1)(2)(3) geeignet (linear) kombinieren, um auf $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray}$ zu kommen...
24.10.2012, 19:05	Blader	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr gut vielen dank für deine hilfe, ich bin dadurch ein ganzes stück weitergekommen. nur eine frage hätte ich noch, wi ekommst du auf die (n+1)^3-1??
24.10.2012, 19:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das Stichwort ja schon gegeben: Teleskopsumme Vielleicht solltest du dich dazu etwas belesen, wenn nicht von selbst der Aha-Effekt kommt: http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme OK, ich schreib's mal mit "Pünktchen": $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n ((k+1)^3-k^3) = ({\color{red}2^3} - 1^3) + ({\color{blue}3^3} - {\color{red}2^3}) + (4^3 - {\color{blue}3^3}) + \ldots + ({\color{green}n^3} - (n-1)^3) + ((n+1)^3 - {\color{green}n^3}) \end{eqnarray}$ Da fällt doch ziemlich viel weg, oder? Ein bisschen was bleibt natürlich übrig, das gilt es aufzusammeln. EDIT: Was die Linearkombination betrifft, zu der du mich noch per PN befragt hast: Es ist doch $\begin{eqnarray} 3\sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{k=1}^n ((3k^2+3k+1)-3k-1) = \sum_{k=1}^n (3k^2+3k+1) - 3 \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 1 \end{eqnarray}$ , und jetzt einfach rechts (1)(2)(3) einsetzen.

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