Prädikatenlogik - Brauche Hilfe bei Interpretation

06.02.2007, 19:06

Tremendous

Prädikatenlogik - Brauche Hilfe bei Interpretation

Hallo erstmal, bin neu hier!
Die Boardsuche konnte mir bei meinem Problem leider nicht weiterhelfen!
Habe folgende Aufgabe:

Anti-Reflexivität und Anti-Symmetrie einer zweistelligen Relation wird wie folgt ausgedrückt:

$\begin{eqnarray*} R = \forall x \neg P(x,x) ; S = \forall x \forall y (P(x,y) \Rightarrow \neg P(y,x)) \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie über dem Universum U = {1,2} alle Interpretationen A(P) an, die R und S auf wahr abbilden (eine Tafel genügt);
b) ...

Mein Problem ist nun, dass ich nicht so genau weiß, wie man sowas nun "interpretiert". Habe noch mehrere solcher Aufgaben, aber wenn man das Prinzip nicht versteht, kann man nichtmal die einfachste lösen.
Mit Tafel ist sozusagen eine Tabelle mit allen Kobinationen gemeint (sind bei diesem Universum/Individuenbereich ja 4).
Ich habe gelesen, dass P(x,x) Reflexivität besagt, das heisst, für (1,1) und (2,2) wahr ist. Dann müsste R doch bei (1,2) und (2,1) wahr sein, oder? Oder muss ich den Allquantor hier noch beachten? In diesem Zusammenhang verstehe ich auch nicht wo der Unterschied liegen würde, wenn dort anstatt des Allquantors ein Existenzquantor stehen würde.
Das könnte ich ja noch nachvollziehen, aber wenn es P(x,y) heisst, wann ist das wahr? Ich wäre extrem dankbar wenn mir jemand sagen könnte, wie man an die Formel S z.B. herangeht. Egal wo ich das ganze nachlese, ich komme einfach nicht weiter. unglücklich

06.02.2007, 19:52

papahuhn

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RE: Prädikatenlogik - Brauche Hilfe bei Interpretation
Du musst dir alle möglichen Relationen aufschreiben, die es da geben kann.
Eine davon ist z.B: $\begin{eqnarray*} \left\{(1,2), (2,1)\right\} \end{eqnarray*}$ . Diese ist nicht antisymmetrisch, denn es existiert ein Element (z.B $\begin{eqnarray*} (2,1) \end{eqnarray*}$ ) dessen Spiegelbild $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ auch in der Relation enthalten ist. Aber es ist antireflexiv, denn es ist weder $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} (2,2) \end{eqnarray*}$ in Relation. Andere Möglichkeiten gibt es bei diesem Universum für reflexive Paare nicht.

Noch ein Hinweis: Es gibt 16 verschiedene Interpretationen. Du kannst dir ja mal überlegen, warum.
Kleine Extraübung: Was folgt woraus: $\begin{eqnarray*} S \Rightarrow R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} R \Rightarrow S \end{eqnarray*}$ ?

06.02.2007, 22:38

Tremendous

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Sorry, aber ich bin manchmal etwas schwer von Begriff verwirrt

Dein Betrag bezieht sich jetzt auf die Fragestellung, dass R Und S beide zusammen wahr sind?
Also mit dieser Aussage, dass Anti-Reflexivität auf R und Anti-Symmetrie auf S zustimmen, würd ich sagen, dass einmal {(1,2)} und einmal {(2,1)} auf beides zutreffen. Und dann eigentlich noch die leere Interpretation (ich weiß nicht wie man das nennt). Das wären 3 Interpretationen die auf beides zutreffen. Aber das habe ich auch nur herausgefunden, weil ich mir das aufgemalt habe.
Wie ist das aber, wenn ich keine solche Aussage habe, was die Formel bewirkt?

Beispiel

$\begin{eqnarray*} F =\forall x \forall y (P(x,y) \vee P(y,x)) \end{eqnarray*}$

Wie prüfe ich hier beispielsweise ob {(1,2)} eine Interpretation ist die F auf wahr abbildet. Oder {(1,1), (2,1)} ?

Das mit den 16 versch. Interpretationen habe ich verstanden. Zu deiner Frage: Aussagenlogisch ist das erste ja dasselbe wie: $\begin{eqnarray*} \neg S \vee R \end{eqnarray*}$ .
Aber in Bezug auf die Aufgabe habe ich leider keinen Schimmer.

06.02.2007, 23:25

papahuhn

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Zitat:

Original von Tremendous
Dein Betrag bezieht sich jetzt auf die Fragestellung, dass R Und S beide zusammen wahr sind?
Also mit dieser Aussage, dass Anti-Reflexivität auf R und Anti-Symmetrie auf S zustimmen, würd ich sagen, dass einmal {(1,2)} und einmal {(2,1)} auf beides zutreffen. Und dann eigentlich noch die leere Interpretation (ich weiß nicht wie man das nennt). Das wären 3 Interpretationen die auf beides zutreffen. Aber das habe ich auch nur herausgefunden, weil ich mir das aufgemalt habe.
Wie ist das aber, wenn ich keine solche Aussage habe, was die Formel bewirkt?

Irgendwie ergeben deine Fragen nicht richtig Sinn (ist nicht böse gemeint!). Ich versuche aus deiner Ausdrucksweise herauszulesen, was du an dem Konzept falsch verstehst. "Antireflexivität auf R" und "Antisymmetrie auf S" scheinen mir darauf hinzudeuten, dass du die beiden Begriffe losgelöst von den Formeln betrachtest.
Es ist aber so, dass die Formeln die Begriffe definieren! Wenn du eine beliebige Relation $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ über einem Universum betrachtest, dann nennt man diese Relation genau dann antisymmetrisch, wenn die Formel $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ durch diese Relation wahr gemacht wird.

Ebenso könntest du sagen: Eine Relation $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sei tremendous, genau dann wenn sie die Formel $\begin{eqnarray*} \forall x \forall y (P(x,y) \vee P(y,x)) \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Eine solche Formel überprüfst du, indem du bei allquantifizierten Variablen alle Werte einsetzt, die im gegebenen Universum möglich sind. Wenn $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ tremendous ist, muss laut Definition folgendes gelten: $\begin{eqnarray*} P(1,1), P(2,2) \end{eqnarray*}$ , außerdem $\begin{eqnarray*} P(1,2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P(2,1) \end{eqnarray*}$

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