Ableitungen skizzieren

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patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen skizzieren
Hallo,

ich muss von einer Gerade f'(x) die Stammfunktion bilden. Zunächst: Liege ich richtig, dass f(x) dann eine quadratische Parabel sein muss? Dann: Wie finde ich heraus, ob sie oben oder unten geöffnet ist?

Da mein Scanner gerade streikt, kann ich leider kein Bild von f'(x) hochladen. Es ist eine einfache Gerade, die durch den Punkt 0 geht.

Noch eine Warnung: Ich bin schwer von Begriff, wenn es um sowas - besonders Zeichnen- geht ^^
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Die Öffnung der Parabel kannst du an der Geraden ablesen. Die gerade ist ja die erste Ableitung der Funktion. Was gibt diese an?

Lg
kgV
Wink

PS. Ja, die Stammfunktion ist eine Parabel
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist das gemeint, mit "Was gibt diese an?"?

Wie kann ich die Parabel denn skizzieren? Muss ich Steigungsdreiecke machen? Und dann?

Die Gerade verläuft etwa so:
[attach]26318[/attach]

edit von sulo: Grafik eingefügt, Link zu externem Host entfernt.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die erste Ableitung einer Funktion gibt derenSteigung an. Was sagt deine Gerade also über die Parabel aus, deren Ableitung sie bildet?
Und wie kann man anhand einer solchen Geraden ablesen, wo die Parabel ihren Scheitelpunkt hat?
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gerade sagt aus, dass es vorher eine quadratische Parabel gewesen sein muss.
Ist die Parabel nach oben geöffnet?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich eigentlich nicht. Was ich meinte, ist das:
Was sagt es aus, wenn die Ableitung einer Funktion in einem Intervall negativ ist?
Was sagt es aus, wenn die Ableitung einer Funktion in einem Intervall positiv ist?
Welche Bedingung muss die Ableitungsfunktion erfüllen, dass ein Extrempunkt vorliegt?

Und ob sie nach oben geöffnet ist, sollst du mir sagen Augenzwinkern
 
 
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nur, dass die Gerade die x-Achse ober-/unterhalb des Wendepunktes bzw. des Scheitels der 1. Ableitung schneidet. Doch was soll mir das sagen? unglücklich
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kennst du schon die x-Koordinate des Scheitelpunkts. Die y-Koordinate kannst du auch nicht berechnen, da beim Bilden der Stammfunktion eine beliebige Konstante dazukommt, d.h. hat genau wie die (erste) Ableitung 2x.
außerdem stimmt deine Formulierung nicht ganz: Die Ableitung schneidet die x-Achse unter-bzw oberhalb des Extrempunkts der Stammfunktion. Das ist ja auch das Verfahren, mit dem man arbeitet: um die Extremstellen zu bestimmen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt.

Wenn ihr das noch nicht gemacht habt, dann helfe cih dir mal weiter: ist die erste Ableitung einer Funktion in einem Intervall negativ, fällt die Stammfunktion in diesem Intervall, ist die Ableitung in einem Intervall positiv, wächst die Funktion. Jetzt überlege mal anhand dieser Infos, was das für unsere Parabel heißt
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Parabel ist nach oben geöffnet, sieht also ungefähr so aus?

[attach]26323[/attach]

Und wie wäre das umgekehrt der Fall? Wann ist die Parabel unten? Geht das überhaupt?

edit von sulo: Grafik eingefügt.
Bitte lade deine Grafiken als Dateianhang hier im Board hoch.
Externe Grafiken werden recht bald wieder entfernt, dann kann man sie nicht mehr sehen.
Danke.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, die Parabel ist nach oben geöffnet Freude
Eine Öffnung nach unten liegt vor, wenn die Gerade so verlaufen würde:
Allerdings könnte deine Gerade wie bereits gesagt auch so aussehen:
Nun aber zum zeichnerischen: Anhand der Steigung deiner Geraden kannst du den Streckungsfaktor (also das a in der Formel ) ermitteln. Weißt du wie?
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, von Streckungsfaktor habe ich noch nie was gehört. Hat das nicht etwas mit Steigungsdreiecken oder so zutun? Wie soll man zeichnen? unglücklich

Also nochmal. Die Intervalle kann man nur an der y-Achse ablesen, oder? x-Achse spielt keine Rolle, oder?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Die Intervalle, von denen ich gesprochen habe, beziehen sich auf die x-Achse. Die Verschiebung der Parabel entlang der y-Achse kann man aus der Ableitung aber nicht ablesen.

Zum Streckungsfaktor:
Eine 2 vor dem bewirkt, dass die Parabel schneller wächst, eine Zahl zwischen 0 und 1 lässt sie langsamer wachsen. Zwei Beispiele:
Weiter im Text: Die Ableitung der Funktion ist
Wenn du nun über Steigungsdreiecke die Steigung der Geraden bestimmen kannst, wie kannst du daraus auf den Streckungsfaktor schließen?
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh gar nichts mehr. Wo soll ich denn die Steigungsdreiecke überhaupt machen? Von wo bis wo? Und was bringt mir das dann?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Was du jetzt brauchst, ist die Steigung der Geraden. Setz das Dreieck z.B. mal von 0 bis 1 an und poste die Lösung mal. Kannst du auch einige Funktionswerte der Geraden posten, damit ich einen Vergleich habe?
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nur eine Skizze, die ich bekommen habe. Als m (Steigung) habe ich 0,5. 1 nach links auf der x-Achse, 0,5 nach unten auf der y-Achse. m= -0,5 : -1 = 0,5
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann stelle ich meine Frage von vorher nochmal:
Zitat:
Original von kgV
Wenn du nun über Steigungsdreiecke die Steigung der Geraden bestimmen kannst, wie kannst du daraus auf den Streckungsfaktor schließen?

Denk daran: y=mx+b und y=2ax+b
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist 0,5 der Streckungsfaktor? Was bringt mir das? Ich verstehs nicht. Ich will doch nur eine Parabel als Stammfunktion zeichnen unglücklich
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommen wir auch gleich hin, nur nicht den Kopf hängen lassen smile . Um sie zeichnen zu können, musst du aber noch den Streckungsfaktor bestimmen. Es macht einen Unterschied, ob deine Parabel so


oder so


aussieht, oder Augenzwinkern
Also: Wenn gilt
y=mx+b und
y=2ax+b
dann würde ich einfach gleichsetzen und nach a auflösen. Dann hast du etwas in der Form und davon kannst du dir dann einige Funktionswerte berechnen und die Parabel dann anschließend auch zeichnen. Oder (der Gedanke kam mir grade) soll es nur eine Skizze sein?


edit: nach Ewigkeiten das Format angepasst
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll nur eine Skizze sein. Nach a auflösen? Was wäre x und b?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

x wäre die Variable und b eine Konstante (z.B. 3, -5 oder jede andere reelle Zahl)
Wenn es nur eine Skizze sein soll, genügt dir im Grunde das Wissen, dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Ansonsten wäre die Auflösung folgende:
mx+b=2ax+b
Hierbei gleichen sich die b und x aus, sodass am Ende m=2a oder a =m/2 dasteht. Damit ließe sich dann die Gleichung: aufstellen (m' ist die Steigung der Ableitungsgeraden) und damit eine relativ genaue Zeichnung erstellen, was aber für dich ja nicht mehr nötig ist.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Also zeichne ich jetzt einfach eine Parabel nach oben geöffnet? Ist es egal, wo die anfängt`? Spielt die 0,5 eine Rolle?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn schon, dann 0,25. (es gilt ja a=m/2)
Das brauchst du aber nur, wenn du mit Wertetabelle arbeiten willst. Ansonsten zeichnest du eine Parabel mit dem Scheitelpunkt auf der y-Achse. Behalte dabei im Hinterkopf, dass die y-Variable nicht aus der Ableitung ersichtlich ist, da diese beim Ableiten verschwindet und somit jede Parabel aus der Schar (c ist eine reelle Zahl) sein kann.
Lg

edit: Ich muss jetzt aber leider weg, bei Fragen hilft dir sicher jemand anderes
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführlichen Erklärungen. Mein Lehrer hat ind er Schule jedoch nicht einfach nur eine Parabel nach oben geöffnet gezeichnet, sondenr noch irgendwelche Steigungen gezeichnet. Und dann so Striche (er hat z.B. gesagt, dass wenn m= 1,5 ist ich 1 nach rechts oder so muss). Was soll damit gemeint sein? Was haben die Steigungsdreiecke damit am Hut? Vielleicht erkennt man somit auch, dass die Parabel nach oben geöffnet ist? Also ein anderes Verfahren als das mit den Intervallen?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dazu mal eine Zeichnung gemacht:
[attach]26367[/attach]
Wie sahen die Dreiecke denn aus? war es das Dreieck an die rote Gerade oder an die Tangente zur Parabel (strichlierte rote Gerade)?
Wenn er über Steigungen geredet hat, dann nehme ich an, dass es um die Eigenschaft der Ableitungen gegangen ist, die Steigung der Stammfunktion in jedem Punkt wiederzugeben.
Zu deinem Beispiel mit m=1.5: das Ergebnis 1 kann ich hierbei nicht nachvollziehen, denn die Steigung 1,5 kommt beim x-Wert 3 vor. Frag bei Unklarheiten am Besten noch mal nach.
Lg
kgV
Wink
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Es war das Dreieck an der roten Gerade. Und dann hat er mit dieser Steigung die Parabel mit Strichen so geformt, dass sie nach oben geöffnet war. Ist das hier damit vielleicht gemeint?

"Wenn er über Steigungen geredet hat, dann nehme ich an, dass es um die Eigenschaft der Ableitungen gegangen ist, die Steigung der Stammfunktion in jedem Punkt wiederzugeben. "?

Wie geht das?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Das sah dann in etwa so aus, oder?
[attach]26370[/attach]

Zu deiner zweiten Frage: Die Ableitung zeigt dir die Steigung der Stammfunktion in jedem beliebigen Punkt: Wenn also die Ableitung bei 3 den Funktionswert 1,5 hat, dann hat die Stammfunktion in diesem Punkt(3) die Steigung 1,5.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber so extrem sah es nicht aus unglücklich Vielleicht so ähnlich, nur ohne diese langen Strichen
Er ist glaube ich, alle Punkte abgegangen. Wie ist das gemeint mit Punkt 3?

Wenn 3 den Funktionswert 1,5 hat: Heißt das, dass auf der x-Achse 3 und auf der y-Achse 1,5 ist? Oder wie?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von patfan1980111
Wenn 3 den Funktionswert 1,5 hat: Heißt das, dass auf der x-Achse 3 und auf der y-Achse 1,5 ist? Oder wie?

Ja, das heißt es
Und punkt 3 heißt nix anderes als P(3;0) war missverständlich formuliert, mein Fehler.
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe ich (3|1,5) als Punkt. Bei der Ableitung, also die Parabel, zeichne ich also also (3|1,5) ein? Oder was muss ich nochmal einzeichnen dann davon?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn du diesen Punkt einzeichnest, dann bekommst du ja wieder die Ableitungsgerade raus. Du kannst mit diesen Erkenntnissen die Parabel nciht so direkt zeichnen. Wie gesagt, die Ableitung sagt dir nur die Steigung der Stammfunktion in diesem Punkt, nicht aber seine Position. Zur Vorgehensweise muss ich dich auf den Thread hier verweisen. Du kannst die Stammfunktion bilden und diese dann zeichnen, evtl mit Wertetabelle. Dabei nicht vergessen, dass die Konstante für y verschieden sein kann, du also nur eine von unendlich vielen, auf der y-Achse zueinander verschiedenen Kurven zeichnest
Jetzt muss ich essen gehen, bin dann wohl später wieder da. Bis dann Wink
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit diesem Wissen habe ich jetzt mal eine andere Skizze bearbeitet. Könntest du bitte drübergucken, obs stimmt? Bin quasi "umgekehrt" vorgegangen. Stimmt SP bzw. HP/TP so alles? Also f'(x) war vorgegeben, f(x) und f''(x) gesucht.

[attach]26373[/attach]

Bei f''(x) z.B. habe ich gesehen, dass die quadratische Parabel zunächst steigt, also habe ich oberhalb der x-Achse ein Kreuz gemacht. Als sie wieder gefallen ist, habe ich ein Kreuz unterhalb der x-Achse gemacht. Die Nullstelle von f''(x) habe ich am Hochpunkt der Parabel gesehen, die bei 0|2 lag. Also ist 0 die Nullstelle für die Gerade. Dann verbunden. Richtig gedacht? Die Form müsste ja stimmen... habe ich ja auswendig gelernt, wie das auszusehen hat.

Edit opi: Bild eingefügt, Link entfernt.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Würde sagen, das passt Freude
patfan1980111 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke! smile Hoffentlich hab ich nun keine Fragen mehr. Ansonsten melde ich mich - das ist sicher Big Laugh
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen- und jederzeit wieder smile Dann aber bitte in einem neuen Thread
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