Konvergenzradien zweier Reihen

06.02.2007, 19:16

Legion

Konvergenzradien zweier Reihen

Hallo!

Leider komme ich bei zwei Aufgaben absolut nicht weiter (entweder weil ich es nicht kann, oder weil ich heute schon zu viele Zahlen gesehen habe).

1) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{z^{2k}}{(4+(-1)^k)^{3k}} \end{eqnarray*}$

Cauchy-Hadamard liefert dann folgendes: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{(4+(-1)^n)^{3}}} \end{eqnarray*}$
Allerdings irritiert mich nun das $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ bei der Grenzwertbildung?!?

Ebenso komme ich mit folgendem nicht weiter: $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(4+(-1)^{n+1})^{3(n+1)}}{(4+(-1)^n)^{3n}} \end{eqnarray*}$ Wie müsste man hier sinnvoll umformen?

2) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(k!)^2(1+\frac{1}{k})^{k^2}}{(2k)!} z^{3k} \end{eqnarray*}$
Wie muss man hier ansetzen?

Wäre für jeden Tip dankbar, mich bringen diese Aufgaben noch zur Verzweiflung...

06.02.2007, 19:28

sqrt(2)

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RE: Konvergenzradien zweier Reihen

Zitat:

Original von Legion
Cauchy-Hadamard liefert dann folgendes: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{(4+(-1)^n)^{3}}} \end{eqnarray*}$
Allerdings irritiert mich nun das $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ bei der Grenzwertbildung?!?

Die Folge konvergiert eben nicht, du kannst aber die Teilfolge mit dem höchsten Grenzwert angeben, es wird ja der größte Häufungswert (lim sup) gesucht.

Zitat:

Original von Legion
Ebenso komme ich mit folgendem nicht weiter: $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(4+(-1)^{n+1})^{3(n+1)}}{(4+(-1)^n)^{3n}} \end{eqnarray*}$ Wie müsste man hier sinnvoll umformen?

Da müsstest du wieder mit den Teilfolgen arbeiten, hier gilt aber für den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ nur

$\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\leq r\leq\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ ,

das bringt also nicht so viel.

Zitat:

Original von Legion
2) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(k!)^2(1+\frac{1}{k})^{k^2}}{(2k)!} z^{3k} \end{eqnarray*}$
Wie muss man hier ansetzen?

Was funktioniert bei dir bei dem, was du nach Cauchy-Hadamard nennst, nicht?

06.02.2007, 19:28

Leopold

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RE: Konvergenzradien zweier Reihen
$\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ bedeutet doch: größter Häufungspunkt der Folge.

Berechne doch einfach die ersten paar Glieder, dann siehst du das sofort.

06.02.2007, 20:32

Legion

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Vielen Dank, da hab ich Trottel den limsup ignoriert Hammer

zu 2)

Wikipedia nennt es Cauchy-Hadamart, habe bis heute noch nie von diesem Begriff gehört Augenzwinkern

. Auch habe ich es ständig mit dem Quotienten versucht und kam zu nichts.

Um der Möglichkeit zu entgehen, noch weitere Fehler zu machen, schreibe ich halt mal alles auf:

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(n!)^2(1+\frac{1}{n})^{n^2}}{(2n)!}}} = \frac {1} {\limsup_{n \to \infty} \frac{(n!)^\frac{2}{n}(1+\frac{1}{n})^n}{(2n)!^{\frac{1}{n}}}} = 1 \end{eqnarray*}$

So korrekt?

06.02.2007, 21:39

sqrt(2)

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Wie du auf 1 kommst, ist mir unklar. Mit dem anderen Kriterium geht es wohl doch besser, es ist aber eine ziemliche Rechnerei... Ich komme auf $\begin{eqnarray*} r=\sqrt[3]{\frac{4}{e}} \end{eqnarray*}$ .

06.02.2007, 22:14

Legion

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Man kommt auf 1, wenn man eine rosa Brille aufsetzt und stupide dem Abgrund entgegen rennt Augenzwinkern

Z.b. habe ich vollkommen blind missachtet, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \end{eqnarray*}$

Bei dem Quotienten kam ich nicht mehr weiter und dachte, etwas offensichtliches übersehen zu haben. Aber wenn es doch viel Rechnerei ist, dann versuche ich es einfach nochmal.

Am Rande: Kann man z.B. bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (n!)^{\frac{2}{n}} \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Aussage treffen?

06.02.2007, 22:26

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Zitat:

Original von Legion
Am Rande: Kann man z.B. bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (n!)^{\frac{2}{n}} \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Aussage treffen?

Klar kann man. Aber dazu ist dann schon die Kenntnis der Stirling-Formel o.ä. ganz nützlich. Augenzwinkern

06.02.2007, 23:09

Legion

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Klar kann man. Aber dazu ist dann schon die Kenntnis der Stirling-Formel o.ä. ganz nützlich. Augenzwinkern

Gut, das wäre wohl für mich zu viel des Guten Augenzwinkern

Zitat:

Original von sqrt(2)
Ich komme auf $\begin{eqnarray*} r=\sqrt[3]{\frac{4}{e}} \end{eqnarray*}$ .

Die 4 habe ich nun auch. Aber wie löst man dies: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}} {(1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)^2}} \end{eqnarray*}$ ?

06.02.2007, 23:15

sqrt(2)

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Naja, auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty \end{eqnarray*}$ zu kommen, ist auch eine Übungsaufgabe, die man den Physikstudenten zutraut... Augenzwinkern

Zitat:

Original von Legion
Die 4 habe ich nun auch. Aber wie löst man dies: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}} {(1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)^2}} \end{eqnarray*}$ ?

Den Exponenten im Zähler ausmultiplizieren, hin- und herformen, und man kommt auf $\begin{eqnarray*} \frac{e}{e^2} \end{eqnarray*}$ ...

06.02.2007, 23:17

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Tipp: Zieh die Zählerpotenz in den Nenner, d.h. gemäß $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} = \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$ . Und dann geht's mit

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}} {(1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)^2}} = \frac{\left( 1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1}}{\left( 1-\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)^2} \cdot \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{(n+1)^2}} \end{eqnarray*}$

weiter... Mit $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n-1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ ist es besser zu sehen. Augenzwinkern

07.02.2007, 11:52

Legion

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Den Exponenten im Zähler ausmultiplizieren

Meinst Du evtl. den Nenner? Oder wie soll ich $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren?

Ich habe nun versucht mit Arthur's Vorschlag zu rechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}} {(1+\frac{1}{n+1})^{(n+1)^2}} = \frac{\left( 1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+1}}{\left( 1-\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)^2} \cdot \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{(n+1)^2}} \end{eqnarray*}$
wobei ich anschließend gesetzt habe: $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \frac {(1-\frac{1}{m})^{2m-1}} {(1-\frac{1}{m})^{m^2}(1+\frac{1}{m})^{m^2}} = \frac {(1-\frac{1}{m})^{2m-1}} {(1-\frac{1}{m^2})^{m^2}} = \frac {(1-\frac{1}{m})^{2m}}{(1-\frac{1}{m^2})^{m^2}(1-\frac{1}{m})} \end{eqnarray*}$

Und nun setze ich erst einmal einzeln den Limes an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} (1-\frac{1}{m})^{2m} = \frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} ((1-\frac{1}{m^2})^{m^2} = \lim_{k \to \infty} ((1-\frac{1}{k})^{k} =\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=m^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty}(1-\frac{1}{m}) = 1 \end{eqnarray*}$

So käme ich jedenfalls auf das gewünschte Ergebnis. Jedoch weiß ich nicht, ob man es so machen darf und mir ist die Rechnung auch zu ergebnisorientiert, sodass ich für meine morgige Klausur schon schwarz sehe unglücklich

Zitat:

Original von sqrt(2)
Naja, auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty \end{eqnarray*}$ zu kommen, ist auch eine Übungsaufgabe, die man den Physikstudenten zutraut... Augenzwinkern

Dann stehe ich als Informatiker wohl weit unten in der Hierarchie Big Laugh

07.02.2007, 12:20

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Legion
Meinst Du evtl. den Nenner?

Ja, den meinte ich eigentlich.

Zitat:

Original von Legion
So käme ich jedenfalls auf das gewünschte Ergebnis. Jedoch weiß ich nicht, ob man es so machen darf

Sieht doch gut aus.

Zitat:

Original von Legion
und mir ist die Rechnung auch zu ergebnisorientiert, sodass ich für meine morgige Klausur schon schwarz sehe unglücklich

Was meinst du mit "ergebnisorientiert"?

07.02.2007, 12:26

Legion

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Was meinst du mit "ergebnisorientiert"?

Damit meinte ich, dass ich nun so lange herumgeschraubt habe, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen; für diese Rechnung habe ich nun ca. 4 Stunden gebraucht unglücklich

. Da habe ich noch eine Menge zu üben.

Habt vielen Dank!

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