Anfangwertproblem loesen

24.10.2012, 19:42	beginnerb	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangwertproblem loesen Meine Frage: Wir beschaeftigen uns gerade mit wellengleichungen und ich soll folgendes AWP loesen: $\begin{eqnarray} <br /> u_{xx} = u_{tt}<br /> u(x,0) = 2x^{2}<br /> u_{t}(x,0) = x<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiss nicht genau, was man hier eigentlich machen soll :S.. folgende formel ist bekannt: $\begin{eqnarray} <br /> u(x,t) = \frac{f(x-ct)f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \! g(y) \, dy <br /> \end{eqnarray}$ und man weiss das f(x) = u(x,0) ist und $\begin{eqnarray} g(x) = u_{t} \end{eqnarray}$ ist.. aber wie genau soll man anfangen und was muss man machen :S
24.10.2012, 20:04	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, überprüfe mal deine Lösungsformel. Im ersten Summanden fehlt ein + oder so. Jetzt benutze das gegebene: Erstmal ist bei dir $\begin{eqnarray} c = 1 \end{eqnarray}$ ferner $\begin{eqnarray} f(x) = u(x,0) = 2x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) = u_t(x,0) = x \end{eqnarray}$ und setze alles in die Formel ein. mfg
24.10.2012, 20:17	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
erst mal eine frage am anfang,wenn ich weiss, dass mein $\begin{eqnarray} f(x) = 2x^{2} \end{eqnarray}$ ist, in der grossen Formel $\begin{eqnarray} f(x-ct) \end{eqnarray}$ bzw wenn c = 1 ist (wieso eigentlich?) $\begin{eqnarray} f(x-t) \end{eqnarray}$ steht, mach ich dann einfach das $\begin{eqnarray} f(x-ct) = 2(x-t)^{2} \end{eqnarray}$
24.10.2012, 20:46	bloodybeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2} \int_{x-ct}^{x+ct} \! g(y) \, dy <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> u(x,t) = \frac{2(x-t)^{2} + 2(x+t)^{2}}{2} + \frac{1}{2} \left[g(x+t) - g(x-t)\right] = (x-t)^{2} + (x+t)^{2} + \frac{1}{2}\left[x+t-x+t\right] <br /> \end{eqnarray}$ dann ergibt sich: $\begin{eqnarray} <br /> x^{2} - 2xt + t^{2} + x^{2} + 2xt + t^{2} + t = 2x^{2} + 2t^{2} + t <br /> \end{eqnarray}$ Das passt aber nicht :S, weil wenn man jetzt nach t ableitet hat man: $\begin{eqnarray} u_{t} = 4t + 1 \end{eqnarray}$ und bei $\begin{eqnarray} u_{t}(x,0) \end{eqnarray}$ sollte x rauskommen, aber so wuerde es 1 sein :S
25.10.2012, 20:24	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine erste Frage ist richtig, beim Einsetzen hast du jedoch vergessen das g zu integrieren. die Allgemeine Wellengleichung lautet hier $\begin{eqnarray} u_tt = c^2 u_xx \end{eqnarray}$ bei dir hast du die Gleichung mit c = 1 gegeben. mfg

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