Beweis Gleichheit von Mengen

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24.10.2012, 20:27	albert_s	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Gleichheit von Mengen Meine Frage: Beweisen Sie folgende Aussage: $\begin{eqnarray} A\cap (\bigcup_{i\in I}B_{i}) = \bigcup_{i\in I}A\cap B_{i} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Kann ich da folgendermaßen forgehen: Ich setze statt $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I}B_{i} \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} B_{1}\cup B_{2} \end{eqnarray}$ ein. $\begin{eqnarray} A \cap (B_{1} \cup B_{2}) = (A\cap B_{1})\cup (A\cap B_{2}) \end{eqnarray}$ Dann sei für die linke Seite $\begin{eqnarray} x\in A\cap B_{1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in A\cap B_{2} \Rightarrow x \in (A\cap B_{1})\cup (A\cap B_{2}) \end{eqnarray}$ -> genau das was rechts steht, ergo es ist bewiesen...ODER?
24.10.2012, 23:47	Causal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Gleichheit von Mengen Wie kannst du von einer beliebigen Indexmenge $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ auf zwei Elemente schließen? Du musst zeigen: $\begin{eqnarray} <br /> A\cap (\bigcup_{i\in I}B_{i}) \subset \bigcup_{i\in I}A\cap B_{i}<br /> A\cap (\bigcup_{i\in I}B_{i}) \supset \bigcup_{i\in I}A\cap B_{i} \end{eqnarray}$ Du fängst an mit: Sei $\begin{eqnarray} x \in A\cap (\bigcup_{i\in I}B_{i}) \Rightarrow ... \Rightarrow x \in \bigcup_{i\in I}A\cap B_{i} \end{eqnarray}$ Gruß, Causal
25.10.2012, 00:03	albert_s	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Gleichheit von Mengen $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I}B_{i} \end{eqnarray}$ das ist doch eigentlich $\begin{eqnarray} B_{1} \cup B_{2} \cup ....B_{n} \end{eqnarray}$ oder? und wenn es für $\begin{eqnarray} B_{1} \cup B_{2} \end{eqnarray}$ gilt, gilt es auch für $\begin{eqnarray} B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3} \end{eqnarray}$ usw. usf. -> $\begin{eqnarray} x\in A\cap B_{1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in A\cap B_{2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\in A\cap B_{3} \end{eqnarray}$ .... oder versteh ich da was grundlegendes falsch
25.10.2012, 18:40	albert_s	Auf diesen Beitrag antworten »
?
25.10.2012, 18:45	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst nicht sagen, dass $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I} B_i=B_1\cup\ldots \cup B_n \end{eqnarray}$ ist, da es kein letztes Element geben muss! Arbeite lieber mit der Definition $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I} A_i :=\{x\|\exists i\in I: x\in A_i\} \end{eqnarray}$ und wende dann den Hinweis von Causal an!
26.10.2012, 19:21	albert_s	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I} A_i :=\{x\|\exists i\in I: x\in A_i\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ bedeutet was? Kann mir bitte jemand den ersten Schritt zeigen und erklären? ich habn brett vorm kopf...
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26.10.2012, 19:41	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ bedeutet: es existiert (mindestens) eins also in diesem zusammenhang existiert mindestens ein $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , so dass x in einer der Mengen $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ ist. Also ist $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ ... usw.
26.10.2012, 21:24	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
wann ist $\begin{eqnarray} x\in C\cap D \end{eqnarray}$ ?
27.10.2012, 18:50	albert_s	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn x in C und D vorkommt. Das x in A und $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I} B_i \end{eqnarray}$ sein muss ist klar, nur wie kann ich mit dem $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I} B_i \end{eqnarray}$ rechnen bzw. das so umformen das es für den beweis dient?
28.10.2012, 05:10	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\in A \cap \bigcup_{i\in I} B_i \implies x\in A \wedge x\in \bigcup_{i\in I}B_i \implies \ldots \end{eqnarray}$ Jetzt kommst du! Wende die Definition der Vereinigung über $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ an.

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