Untergruppen von Zyklischen Gruppen

24.10.2012, 21:09	WernerHL	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen von Zyklischen Gruppen Meine Frage: Hallo, ich bräuchte mal eure Hilfe. Ich muss folgende Aufgabe lösen. "Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine endliche und zyklische Gruppe. Es seien $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} H_2 \end{eqnarray}$ Untergruppen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|H_1\|=\|H_2\| \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass dann $\begin{eqnarray} H_1=H_2 \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Ich hab mir überlegt, dass es ein $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ geben muss, sodass jedes $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray}$ darstellbar ist als $\begin{eqnarray} x=g^n \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Nun nehme ich mir ein Element $\begin{eqnarray} a \in H_1 \end{eqnarray}$ . Da ja $\begin{eqnarray} H_1 \subset G \end{eqnarray}$ gilt, hat das Element $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine Darstellung der Form $\begin{eqnarray} a=g^m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Nun möchte ich zeigen, dass a dann auch in $\begin{eqnarray} H_2 \end{eqnarray}$ liegt. Ist dies überhaupt der richtige Ansatz?

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