Äquivalenzrelation Wege

25.10.2012, 10:38

mimip91

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Äquivalenzrelation Wege

Meine Frage:
Für $\begin{eqnarray*} U\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{W}(U) \end{eqnarray*}$ die Menge aller Wege in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , Für $\begin{eqnarray*} \gamma, \gamma^* \in \mathcal{W}(U) \end{eqnarray*}$ definieren wir:
$\begin{eqnarray*} \gamma \sim \gamma^* \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es existiert eine Parametertransformation $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma \circ \varphi = \gamma^* \end{eqnarray*}$ .

1. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} \gamma_1, \gamma_2 \in \mathcal{W}(U) \end{eqnarray*}$ die Äquivalenz $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \sim \gamma_2 \Leftrightarrow \gamma_1^- \sim \gamma_2^- \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Um die Äquivalenzrelation zu zeigen, muss ich ja die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen:

Reflexivität: Damit $\begin{eqnarray*} \gamma \sim \gamma \end{eqnarray*}$ gilt, muss man eine Transformation anwenden, die nichts verändert. Weiß aber nicht wie das formell aussehen soll

Symmetrie: Wenn man einen Weg in den anderen per Parametertransformation überführen kann, dann muss das ja auch rückwärts gehen. aber auch hier fehlt mir die formelle Schreibweise.

Transitivität: Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \sim \gamma_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \sim \gamma_3 \end{eqnarray*}$ , dann kann man auf $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ auch beide Transformationen anwenden. Vllt so:
Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \circ \varphi = \gamma_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \circ \varphi^* = \gamma_3 \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \circ \varphi \circ \varphi^* = \gamma_3 \end{eqnarray*}$ ???

Zu 2. hab ich leider noch keine Ideen...

25.10.2012, 10:56

RavenOnJ

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RE: Äquivalenzrelation Wege

Zitat:

Original von mimip91
$\begin{eqnarray*} U\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ...

Dies würde beduten, dass $\begin{align*} U \end{align*}$ ein Element der Menge der komplexen Zahlen ist, also eine komplexe Zahl. Wie passt das mit den Wegen zusammen, die innerhalb $\begin{align*} U \end{align*}$ sein sollen?

Gruß
Peter

25.10.2012, 11:39

mimip91

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RE: Äquivalenzrelation Wege
Oh entschuldigung... es soll natürlich sein $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

25.10.2012, 12:23

RavenOnJ

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wie ist ein Weg definiert? Und was ist genau mit Parametertransformation gemeint? Ich habe zwar eine Vorstellung davon, wie es gemeint ist, aber das reicht nicht.

Gruß
Peter

25.10.2012, 13:28

mimip91

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Also hier mal unsere Definitionen aus dem Skript:

Weg:
Sei $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ Ein Weg in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist eine stetige, stückweise differenzierbare Abbildung $\begin{eqnarray*} \gamma \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{C} \ mit \ \gamma([a,b]) \subset U \end{eqnarray*}$ Man nennt $\begin{eqnarray*} Sp \ \gamma \colon= \gamma\left(\left[a,b\right] \right) \end{eqnarray*}$ die Spur von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ . Dabei heißt $\begin{eqnarray*} \gamma(a) \end{eqnarray*}$ der Anfgangs- und $\begin{eqnarray*} \gamma(b) \end{eqnarray*}$ der Endpunkt des Weges und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein Weg von $\begin{eqnarray*} \gamma(a) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \gamma(b) \end{eqnarray*}$ .
Man nennt $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ geschlossen, wenn $\begin{eqnarray*} \gamma(a) = \gamma(b) \end{eqnarray*}$ .
Die Länge des Weges $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} L(\gamma):= \int_a^b \! |\gamma'(t)| \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma^-:[a,b] \rightarrow \mathbb{C}, \gamma^-(t):=\gamma(a+b-t) \end{eqnarray*}$ heißt der zu $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ entgegengesetzte Weg.

Parametertransformation:
Sei $\begin{eqnarray*} \gamma \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Weg. Eine surjektive, stetige, stückweise stetig differenzierbare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:[c,d] \rightarrow [a,b] \end{eqnarray*}$ nennt man eine Parametertransformation, wenn $\begin{eqnarray*} \varphi'(t) \textgreater 0 \end{eqnarray*}$ für alle t, in denen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, und in den Zerlegungsstellen von $\begin{eqnarray*} \varphi' \end{eqnarray*}$ die einseitigen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ positiv sind.
Dann nennt man $\begin{eqnarray*} \gamma \circ \varphi:[c,d] \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine Umparametrisierung von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$

Hoffe das hilft...

25.10.2012, 13:51

RavenOnJ

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OK, danke. Das war ausführlich!

Du musst jetzt für die Transitivität zeigen, dass $\begin{align*} \varphi\circ\varphi^* \end{align*}$ wieder eine Parametertransformation (PT) ist.

Für die Symmetrie musst du zeigen, dass für eine existierende PT $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ die Umkehrtransformation $\begin{align*} \varphi^{-1} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \varphi^{-1}\circ\varphi = \varphi\circ\varphi^{-1} =i_W \end{align*}$ ebenfalls existiert und die genannten Bedingungen erfüllt. ( $\begin{align*} i_W \end{align*}$ soll der Identitätsoperator auf $\begin{align*} \boldsymbol W(U) \end{align*}$ sein, der jeden Punkt eines Weges auf sich selber abbildet.)

Gruß
Peter

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25.10.2012, 15:04

mimip91

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Hey, ja also im prinzip ist mir klar, dass ich das machen muss, aber ich weiß nicht wie...

25.10.2012, 15:43

RavenOnJ

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Zur Transitivität:
Du hast eine Transformation $\begin{align*} \varphi^*:\left[e,f\right]\to\left[c,d\right] \end{align*}$ sowie eine $\begin{align*} \varphi:\left[c,d\right]\to\left[a,b\right] \end{align*}$ . Die Verkettung $\begin{align*} \varphi\circ\varphi^* \end{align*}$ ist dann eine Transformation $\begin{align*} \tilde\varphi := \varphi\circ\varphi^* \end{align*}$ mit $\begin{align*} \tilde\varphi :\left[e,f\right]\to\left[a,b\right] \end{align*}$ . Für die muss gezeigt werden, dass sie ebenfalls surjektiv, stetig, stückweise stetig differenzierbar usw. ist.

Die ersten beiden Eigenschaften dürften einfach zu zeigen sein. Für die stückweise stetige Diff.barkeit überleg mal, wie die Teilintervalle für $\begin{align*} \tilde\varphi \end{align*}$ aussehen müssen, innerhalb denen die Abbildung stetig diff.bar ist, und wie sie sich aus den entsprechenden Teilntervallen von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ und $\begin{align*} \varphi^* \end{align*}$ ergeben.

Gruß
Peter

25.10.2012, 18:26

mimip91

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Hmm...also iwie bin ich ratlos traurig

traurig

was ich weiß ist, dass die Hintereinanderausführung oder auch Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig ist. Wäre das schonmal.

Und zur Surjektivität: Sei f: A -> B, (f surjektiv) und g: B -> C (g surjektiv) gegeben. Sei weiterhin c ein beliebiges, aber fest gewähltes Element aus C. Da g surjektiv ist, gibt es ein b aus B mit g(b) = c. Da aber auch f surjektiv ist, gibt es auch ein a aus A mit f(a) = b. Daraus folgt wegen g(f(a)) = g(b) = c unmittelbar, dass h: A -> C mit h = g(f), also die Hintereinanderausführung zweier surjektiver Funktionen wieder surjektiv ist.

Aber das mit den Teilintervallen hab ich immer noch nicht verstanden

25.10.2012, 19:34

RavenOnJ

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Eine Abbildung $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ soll nur stückweise stetig differenzierbar sein, nicht auf dem ganzen Definitionsbereich stetig differenzierbar. D.h. man kann den Definitionsbereich von $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ in (endlich viele) offene Teilintervalle unterteilen, auf denen die Abbildung stetig differenzierbar ist. Die Teilintervalle werden durch Punkte getrennt, an denen $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ zwar stetig ist, aber nicht differenzierbar, es gibt sozusagen Knicke in der Abbildung.

Gruß
Peter

26.10.2012, 13:23

mimip91

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Hey, also haben heute in der Uni nochmal zusammen wegen der transitivität geguckt und den letzten teil mit der stückw. stetig diffbaren verknüpfung mit ner freundin geklärt.

Aber jetzt hängt ich immer noch bei der reflexivität und symmetrie. Kann mir da nochmal wer helfen?

26.10.2012, 13:25

zweiundvierzig

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Zur Reflexivität: Wie kann man denn $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ "auf sich selbst" transformieren?

26.10.2012, 14:06

RavenOnJ

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Zur Symmetrie hatte ich dir auch schon was geschrieben:

Zitat:

Original von RavenOnJ
Für die Symmetrie musst du zeigen, dass für eine existierende Parametertransformation $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ die Umkehrtransformation $\begin{align*} \varphi^{-1} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \varphi^{-1}\circ\varphi = \varphi\circ\varphi^{-1} =i_W \end{align*}$ ebenfalls existiert und die genannten Bedingungen erfüllt. ( $\begin{align*} i_W \end{align*}$ soll der Identitätsoperator auf $\begin{align*} \boldsymbol W(U) \end{align*}$ sein, der jeden Punkt eines Weges auf sich selber abbildet.)

Gruß
Peter

26.10.2012, 14:36

mimip91

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zur reflexivität: man bildet $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ auf sich selbst ab mit der Identitätsabbildung...also wäre das dieses $\begin{eqnarray*} i_W \end{eqnarray*}$ ...aber wie genau zeig ich das denn???

und dann die symmetrie: ich hatte das nicht vergessen, aber mir fällt der nachweis echt schwer. wie kann man denn aus den eigenschaften von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ darauf schließen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi^-1 \end{eqnarray*}$ die auch erfüllt. ich seh da die folgerung der eigenschaften nicht...

26.10.2012, 14:43

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von mimip91
zur reflexivität: man bildet $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ auf sich selbst ab mit der Identitätsabbildung...also wäre das dieses $\begin{eqnarray*} i_W \end{eqnarray*}$ ...aber wie genau zeig ich das denn???

Naja, offensichtlich gilt erstmal $\begin{eqnarray*} \varphi \circ \mathrm{id}_{[a,b]} = \varphi \end{eqnarray*}$ . Dann musst Du halt überprüfen, dass die Identität tatsächlich eine Parametertransformation im oben angegebenen Sinn ist. Das sollte jetzt nicht wirklich schwer ein...

Zitat:

Original von mimip91
und dann die symmetrie: ich hatte das nicht vergessen, aber mir fällt der nachweis echt schwer. wie kann man denn aus den eigenschaften von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ darauf schließen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi^-1 \end{eqnarray*}$ die auch erfüllt. ich seh da die folgerung der eigenschaften nicht...

Welche Sätze kennst du denn, die Aussagen über Umkehrfunktionen von differenzierbaren Funktionen, sowie Ableitungen dieser Umkehrfunktionen treffen?

27.10.2012, 15:44

mimip91

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also ich kenne beispielsweise den satz über implizite funktionen, der ja sagt, wenn eine Funktion stetig diffbar ist und die Ableitung nicht Null ist, dann existiert die Umkehrabbildung und ist auch stetig diffbar. Gilt das denn auch für die einschränkung wenns nur stückweise ist??

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