inhomogene lineare DGL -> Variation der Konstanten Problem

25.10.2012, 12:25

Maddy

inhomogene lineare DGL -> Variation der Konstanten Problem

Hallo

Ich hab ein Problem mit einer DGL. Irgendwo muss ein Rechenfehler oder so sein da ich an einem gewissen Punkt nun nicht mehr weiter komme.

Die DGL lautet:

$\begin{eqnarray*} \dot{y} = 10(y - \frac{t^2}{1 + t^2}) + \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \end{eqnarray*}$

Dann werden eben alle y auf die linke Seite sortiert:

$\begin{eqnarray*} \dot{y} - 10y = - \frac{10t^2}{1 + t^2} + \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \end{eqnarray*}$ (1)

Dann will ich das ganze durch "Variation der Konstanten" lösen. Also zuerst die homogene DGL.

homogene DGL

$\begin{eqnarray*} \dot{y} - 10y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot{y} = 10y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dy}{dt} = \int 10y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} ln |10y| = t + K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln |10y| = 10 (t + K) \end{eqnarray*}$ | * e

$\begin{eqnarray*} 10y = e^{10(t + K)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{10} e^{10(t + K)} \end{eqnarray*}$ <- Bis hier bin ich mir eigentlich sicher das es stimmt.

Nun sag ich ja, dass K = K(t) ist. Zumindest ist das im Papula so beschrieben.

Nun kann ich ja die inhomogene DGL lösen, dazu muss ich ja aber erst noch y ableiten. Dies gibt dann:

$\begin{eqnarray*} \dot{y} = (10 + 10K'(t)) * \frac{1}{10}e^{10(t + K(t))} \end{eqnarray*}$

Oder schöner ausgeschrieben eben:

$\begin{eqnarray*} \dot{y} = e^{10(t + K(t))} + K'(t)e^{10(t + K(t))} \end{eqnarray*}$

inhomogene DGL

Nun kann ich ja alles in die Ausgangsgleichung (1) einsetzen:

$\begin{eqnarray*} e^{10(t + K(t))} + K'(t)e^{10(t + K(t))} - e^{10(t + K(t))} = - \frac{10t^2}{1 + t^2} + \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \end{eqnarray*}$

Glücklicherweise fallen links vom Gleichzeichen ja 2 Sachen weg so das nur noch K'(t) bleibt.

$\begin{eqnarray*} K'(t)e^{10(t + K(t))} = - \frac{10t^2}{1 + t^2} + \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \end{eqnarray*}$

Hier ist nun mein Problem. Da steht noch ein K(t) bei e^ verwirrt

Ich bin mir aber sicher das das nicht sein sollte. Daher vermute ich irgendwo einen Fehler den ich aber einfach nicht sehe. Könnte mir jemand helfen?

Danke smile

25.10.2012, 13:43

Mulder

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RE: inhomogene lineare DGL -> Variation der Konstanten Problem

Zitat:

Original von Maddy
$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{10} e^{10(t + K)} \end{eqnarray*}$

Stimmt an sich. Der Fakor 1/10 ist allerdings völlig überflüssig. Du kriegst den mit rein, weil du links irgendwie auf ln(10y) kommst. Das ist nicht falsch, den das kann man auch als ln(10)+ln(y) schreiben und Stammfunktionen sind ja nur bis auf konstante Summanden eindeutig. Aber es ist unnötig kompliziert

$\begin{eqnarray*} y= e^{10t+K} \end{eqnarray*}$

Nun macht man üblicherweise den Ansatz (Potenzgesetze)

$\begin{eqnarray*} y = e^K \cdot e^{10t} \end{eqnarray*}$

und definiert die Konstante e^K neu: $\begin{eqnarray*} e^K := c \end{eqnarray*}$

Dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} y = c e^{10 t} \end{eqnarray*}$

als vollständige Lösung der homogenen DGL. Und dieses c machst du dann im weiteren zu einem c(t).

Du musst dieses K, das ich zu c umbekannt habe, aus dem Exponenten rausholen. Denn sonst ist deine DGL doch gar nicht mehr linear! VdK ist ein Verfahren für lineare DGLn. Darum bleibt bei dir auch am Ende ein K(t) übrig, was ja eigentlich nicht sein darf.

Mach das so, wie ich es jetzt geschrieben habe, dann kürzt sich auch jedes K(t) weg. Es bleibt nur ein K'(t), bzw. bei meiner Notation halt ein c'(t). Aber welchen Buchstaben man nun verwendet, ist ja Banane.

25.10.2012, 13:51

HAL 9000

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Ergänzend sei noch hinzugefügt, dass man streng genommen erstmal nur bei

$\begin{eqnarray*} |y| = e^{10t+K} = e^K\cdot e^{10t} \end{eqnarray*}$

ist, nach Betragsauflösung also bei

$\begin{eqnarray*} y = \pm e^K\cdot e^{10t} \end{eqnarray*}$ ,

weshalb mit dem Übergang zu

$\begin{eqnarray*} y = c\cdot e^{10t} \end{eqnarray*}$

durchaus auch negative $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ erlaubt sind - was allein bei $\begin{eqnarray*} c=e^K \end{eqnarray*}$ ja nicht der Fall wäre. Augenzwinkern

25.10.2012, 15:02

Maddy

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Hallo

Danke für die Hilfe. Das ist mir nun auch soweit klar.

Ein paar Schritte weiter steht dann ja nun das hier dran:

$\begin{eqnarray*} K'(t) =\frac{1}{e^{10t}} * ( - \frac{10t^2}{1 + t^2} + \frac{2t}{(1 + t^2)^2} ) \end{eqnarray*}$

oder eben das hier dran:

$\begin{eqnarray*} K'(t) = e^{-10t} * ( - \frac{10t^2}{1 + t^2} + \frac{2t}{(1 + t^2)^2} ) \end{eqnarray*}$

Nachdem ich es ein wenig umforme etc. steht das dann so dran:

$\begin{eqnarray*} K'(t) = \int - e^{-10t} \frac{10t^2}{1 + t^2} + \int e^{-10t} \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \end{eqnarray*}$

Und ich geb ganz offen zu, dass ich an dem Integral ein wenig scheitere. Da muss ich doch wohl mit der Produktintegration ran, oder nicht? Im Papula gibts das nämlich leider nicht in der Integraltabelle traurig

Grüße

25.10.2012, 15:12

Mulder

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Zitat:

Original von Maddy
Und ich geb ganz offen zu, dass ich an dem Integral ein wenig scheitere.

Das hab ich kommen sehen. Augenzwinkern

Ich finde das Ding auch nicht so angenehm. Wenn du es auf diese Weise auseinander ziehst, zu zwei Integralen, hast du wohl keine Chance mehr, es zu lösen. Das musst du schon beisammen lassen. Außerdem die beiden Brüche erstmal auf den gleichen Nenner bringen. Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{-10t}(2t-10t^2(1+t^2))}{(1+t^2)^2} \, \dd t \end{eqnarray*}$

Durch das (1+t²)² im Nenner kann man ja vielleicht schon erahnen, dass eine Stammfunktion irgendwas von der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t) \cdot g(t)}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

sein wird.Wobei f die e-Funktion und g irgendein Polynom sein wird. Versuch, den Zähler deines Integranden mal so umzuformen (und umzusortieren), dass du die angewandte Quotientenregel erkennen kannst. Dann kannst du mit dem HDI argumentieren.

Eine andere Möglichkeit sehe ich grad nicht... vielleicht hat ja noch jemand anders eine Idee, ob man irgendwie sinnvoll mit partieller Integration rangehen könnte oder so.

25.10.2012, 16:41

Maddy

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Also irgendwie komm ich jetzt überhaupt nicht voran. Die Aufgabe ist ja aus nem Buch wo ich eben nur das Endergebnis stehen hab.

Die bekommen mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0) = y_0 \end{eqnarray*}$ das hier raus:

$\begin{eqnarray*} y(t) = y_0 e^{10t} + \frac{t^2}{1 + t^2} \end{eqnarray*}$

Also en richtig schönes einfaches Ergebnis :/ Ich hab zwar versucht den Zähler irgendwie schöner hinzubekommen, um das ganze eben integrieren zu können, aber irgendwie klappt das nicht so ganz.

26.10.2012, 16:23

Maddy

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Hat jemand vielleicht noch ne Idee?

Vielleicht wäre es ja doch besser wenn ich die Integrale auseinander ziehe und dann eben 2 Stück habe. So wirkt der Zähler zumindest deutlich "freundlicher" auf mich und sieht auch eher "lösbar" aus. Oder täusche ich mich da?

$\begin{eqnarray*} K'(t) = \int \frac{e^{-10t}(2t-10t^2(1+t^2))}{(1+t^2)^2} \, \dd t \end{eqnarray*}$ ist eben schon ein Brocken.

$\begin{eqnarray*} K'(t) = \int - e^{-10t} \frac{10t^2}{1 + t^2} + \int e^{-10t} \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \end{eqnarray*}$ sieht irgendwie leichter aus.

Grüße

26.10.2012, 16:45

HAL 9000

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Es gibt eben DGL, die sind "konstruiert", das muss man so hinnehmen: Im vorliegenden Fall ist

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{t^2}{1+t^2} \right)' = \left( 1-\frac{1}{1+t^2} \right)' = \frac{2t}{(1+t^2)^2} \end{eqnarray*}$

weswegen man damit schon eine partikuläre Lösung der Original-DGL gefunden hat. Übertragen auf die variierte Konstante heißt das nach Produktregel

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{t^2}{1+t^2}e^{-10t} \right)' = \frac{2t}{(1+t^2)^2}\cdot e^{-10t} - \frac{10t^2}{1+t^2}e^{-10t} \end{eqnarray*}$ ,

also genau dein Integrand. Warum sage ich konstruiert? Weil wenn du auch nur eine Konstante im Integranden abänderst, z.B.

$\begin{eqnarray*} \int \left( \frac{2t}{(1+t^2)^2}\cdot e^{-10t} - \frac{{\color{red}12}t^2}{1+t^2}e^{-10t} \right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ,

dann ist es Essig mit einer geschlossenen Integration, dann brauchst du sowas wie die Integralexponentialfunktion o.ä. Teufel

27.10.2012, 11:36

dia

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Hallo

Ich glaube,daß man hier aus einer Lösung

$\begin{eqnarray*} y(t) = y_0 e^{10t} + \frac{t^2}{1 + t^2} \end{eqnarray*}$

eine Differentialgleichug konstruiert hat

die sich wiederum nicht analytisch lösen läßt (bzw nur extrem schwer)

Man muß also eine Zwischenlösung finden (irgendwas mit eimem Integral)

Das kann man dann mit einem Computerprogamm zeichnen

Die angegebene Lösung kann man dann mit der Zeichnug vergleichen

Denn du hattest woanders erwähnt,daß es um numerische Mathematik geht

VG

27.10.2012, 13:01

Maddy

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{t^2}{1+t^2} \right)' = \left( 1-\frac{1}{1+t^2} \right)' = \frac{2t}{(1+t^2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{t^2}{1+t^2}e^{-10t} \right)' = \frac{2t}{(1+t^2)^2}\cdot e^{-10t} - \frac{10t^2}{1+t^2}e^{-10t} \end{eqnarray*}$

Hmm ok, ist also ne "konstruierte" DGL. Die beiden "Dinge" oben treffen ja auf mich jetzt zu, doch wie geh ich damit jetzt um? Verstehe es grad leider nicht so genau unglücklich

@ dia

Ja, geht um numerische Mathematik. Aber das Beispiel aus dem Buch ist noch ganz am Anfang wo man eben mit der numerischen Mathematik noch nicht richtig angefangen hat. Ist eben nur ein Beispiel wie Anfangswerte das Ergebnis verhauen können. Ich wollte aber es trotzdem nachrechnen damit ich auch wieder in das ganze DGL Thema rein komme.

Grüße

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