Ungleichungsregel für Grenzwerte

25.10.2012, 12:52

Marco1802

Ungleichungsregel für Grenzwerte

Hab gerade ein Problem. Hab diese Übungsaufgabe vom Professor bekommen.

Es existiere eine Zahl M derart, dass $\begin{eqnarray*} | (f(x)) | <= M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Verwenden Sie die Ungleichungsregel für Grenzwerte, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe absolut keinen blassen Schimmer was der Professor von mir will!

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 0< | x - 0| < \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | x f(x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt weiter? Ist das so überhaupt richtig? Hat es irgendwas mit Inversen zu tun?

mfg Marco

25.10.2012, 13:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marco1802
Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 0< | x - 0| < \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | x f(x) - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Es nützt nichts, diese beiden Ungleichungen hinzuschreiben, wenn man sie nicht in logische Beziehung zueinander setzt:

Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} xf(x) = 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0< | x - 0| < \delta \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |xf(x)-0| < \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Im vorliegenden Fall kann man unter Zuhilfenahme von $\begin{eqnarray*} |xf(x)| = |x|\cdot |f(x)| \leq M\cdot |x| \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sehr konkret angeben.

25.10.2012, 13:27

Marco1802

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Sorry aber ich versteh absolut gar nichts. NICHTS!!! Ich hab absolut keinen Plan was das hier soll. Ich bin hier im ersten Semester Maschinenbau (FH) und dann kommen solche Übungsaufgaben! Nach 3 Wochen?!

25.10.2012, 13:36

HAL 9000

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Da bringe ich lediglich deine beiden hingeworfenen Ungleichungen in den richtigen Zusammenhang, und was höre ich? Nur Wehklagen.

In dem Fall bin ich der falsche Helfer, ich hab kein Ohr für solch ausschließlich destruktives Herangehen. unglücklich

25.10.2012, 14:07

Marco1802

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Sorry..Danke für deine Hilfe aber ich weiß leider nicht einmal was ich damit erreichen will..

25.10.2012, 15:09

klarsoweit

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Damit erreichst du, daß du wenigstens schon mal weißt, was du überhaupt beweisen sollst. Oder gehörst du eher zu den Leuten, die eine Reise beginnen, ohne zu wissen, wo es denn hingehen soll?

Jetzt mußt du eigentlich nur noch dieses tun:

Zitat:

Original von HAL 9000
Im vorliegenden Fall kann man unter Zuhilfenahme von $\begin{eqnarray*} |xf(x)| = |x|\cdot |f(x)| \leq M\cdot |x| \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sehr konkret angeben.

25.10.2012, 18:59

arl

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Grenzwert
wäre folgendes die Lösung zu diesem Problem?

$\begin{eqnarray*} 0<|X|<\delta=\frac{\epsilon}{|f(x)|} \end{eqnarray*}$ und dadurch $\begin{eqnarray*} |x|\cdot |f(x)|<|f(x)|\cdot \frac{\epsilon}{|f(x)|}=\epsilon \end{eqnarray*}$

26.10.2012, 08:54

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Nun ja, es kommt der Sache zumindest näher. Nur darf das delta nicht von x abhängig sein.

26.10.2012, 10:23

arl

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Also müsste ich das M mit in die Beziehung setzen?

26.10.2012, 14:20

klarsoweit

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Ja.

29.10.2012, 14:28

arl

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$\begin{eqnarray*} 0<|X|<\delta=\frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x|\cdot |f(x)|<M\cdot \frac{\epsilon}{M}=\epsilon \end{eqnarray*}$ ?

29.10.2012, 15:11

klarsoweit

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Und jetzt schreiben wir noch etwas Prosa dazu, damit ein Leser auch versteht, was man sagen will:

Zu beliebigem epsilon > 0 wählen wir $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt: $\begin{eqnarray*} 0<|x|<\delta=\frac{\epsilon}{M} \Rightarrow |x| \cdot |f(x)|<M \cdot \frac{\epsilon}{M} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert definitionsgemäß x * f(x) gegen Null.

29.10.2012, 16:44

arl

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Danke für Deine Hilfe!

Leider verstehe ich nicht wieso man das so machen muss Big Laugh

bzw was es mir bringt die ganze Sache über die Definition des Grenzwerts auf zu ziehen.

29.10.2012, 20:18

Marco1802

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Ich auch nicht arl Augenzwinkern

30.10.2012, 08:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von arl
Leider verstehe ich nicht wieso man das so machen muss Big Laugh

bzw was es mir bringt die ganze Sache über die Definition des Grenzwerts auf zu ziehen.

Das kann jetzt in eine längere Grundsatzdiskussion ausarten, wie man einen mathematischen Beweis führt. Fakt ist doch, daß du unter den gegebenen Bedingungen folgendes zeigen sollst:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Also liegt es doch auf der Hand, daß man in der Grenzwertdefinition nachschaut, was diese Symbolschreibweise konkret bedeutet und weist dann nach, daß die dort genannten Bedingungen erfüllt sind.

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