Beweis zu "Komposition umkehrbarer Abb. ist umkehrbar"

25.10.2012, 11:30

Tubi

Beweis zu "Komposition umkehrbarer Abb. ist umkehrbar"

Meine Frage:
Hallo,
ich soll beweisen, dass die Komposition umkehrbarer Abbildungen wieder umkehrbar ist.

Sei $\begin{eqnarray*} f: M \rightarrow N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:N \rightarrow O \end{eqnarray*}$ zwei bijektive Abbildungen dann ist zu zeigen, dass gilt
$\begin{eqnarray*} (g*f)^{-1}=f^{-1}*g^{-1} \end{eqnarray*}$

Dabei ist * die Verkettung.

Meine Ideen:
Ich habe mir das anhand einer Skizze schon aufgezeichnet und die jeweilige Funktionen aufgezeichnet. Die Mengen zwischen denen sie operieren passen auf jeden Fall.

Ich weiß nun nicht wie, ich das formal zeigen soll.

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} (g*f(m))^{-1}=(g(f(m)))^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie komme ich jetzt weiter?

Vielen Dank für eure Hilfe smile

25.10.2012, 11:44

Mazze

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Die inverse Abbildung ist eindeutig. Sprich, wenn Du zeigen kannst , dass

$\begin{eqnarray*} ((f \circ g) \circ (g^{-1} \circ f^{-1}))(x) = x \end{eqnarray*}$

ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ . Und naja, der Beweis ist trivial. Man müsste sich nur überlegen ob $\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} \end{eqnarray*}$ acuh existiert. Aber auch das ist nicht schwer Augenzwinkern

25.10.2012, 11:55

Tubi

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$\begin{eqnarray*} ((f \circ g) \circ (g^{-1} \circ f^{-1}))(x) = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f(g)) \circ (g^{-1}(f^{-1}))(x)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f(g)) ( (g^{-1}(f^{-1}))(x))=x \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Darf ich die Klammern anders setzen, sodass g und das Inverse davon die Identität ergeben ebenso wie f und das Inverse davon?
Und warum darf ich die Klammern dann anders setzen?

$\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert, da f und g bijektive Abbildungen sind, also ist auch die Verknüpfung bijektiv und bijektive Abbildungen haben Umkehrabbildungen.

25.10.2012, 12:23

Mazze

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Zitat:

Darf ich die Klammern anders setzen, sodass g und das Inverse davon die Identität ergeben ebenso wie f und das Inverse davon?

Die Komposition von Funktionen ist Assoziativ, also ja!

Zitat:

also ist auch die Verknüpfung bijektiv

Der Punkt wäre zu Beweisen und ist ja auch Teil der Aufgabe Augenzwinkern

25.10.2012, 12:52

Tubi

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Also
$\begin{eqnarray*} ((f \circ g) \circ (g^{-1} \circ f^{-1}))(x) = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (f \circ (g \circ g^{-1})\circ f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (f \circ id \circ f^{-1})(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (f \circ f^{-1})(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} id(x) \end{eqnarray*}$

Damit ist genezigt, dass $\begin{eqnarray*} (g^{-1} \circ f^{-1}) \end{eqnarray*}$ die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ ist, und es gilt die obige Aussage.

Zur Bijektivität: Ich weiß, das f und g jeweils bijektiv sind. Also weiß ich, dass f und g jeweils injektiv sind. Daraus schließe ich auf die Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(g(x_1))=f(g(x_2)) \Rightarrow g(x_1)=g(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ . Der erste Folgepfeil gilt aufgrund der Injektivität von f, der zweite aufgrund der Injektivität von g.

f und g sind bijektiv. Also weiß, ich dass beide surjektiv sind. Ich schließe also auf die Surjektivität von der Verknüpfung h. (da arbeite ich gerade noch dran, kommt gleich)

Und damit ist die Komposition injektiv und surjektiv und damit bijektiv.

Ist das richtig soweit?

25.10.2012, 12:58

Mazze

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Zitat:

Ist das richtig soweit?

Japp, die Surjektivität noch ordentlich formuliert und du hast es. Aber das packst Du sicher.

25.10.2012, 12:59

Tubi

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So, jetzt zur Surjektivität:

Sei $\begin{eqnarray*} f: M \rightarrow N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: N \rightarrow O \end{eqnarray*}$ beide surjektiv.
zz: $\begin{eqnarray*} g \circ f = h \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

Nach Definition:
h ist surjektiv genau dann wenn für alle o aus O existiert ein m aus M, sodass h(m)=0 ist.
da f surjektiv ist (d.h. für alle n aus N existiert ein m aus M, sodass f(m)= n) folgt g(f(m))=0 ist äquivalent zu g(n)=0

Da g surjektiv ist (d.h. vür alle o aus O existiert ein n aus N für das gilt: f(n)=0 folgt
0=0

Die Komposition von zwei surjektiven Funktionen ist also surjektiv.

Ist das richtig so?

Ich hatte noch etwas Probleme die Quantoren jeweils zu verwenden. Als oin der 1. Zeile sind sie klar, aber nachdem ich anwende, dass z.B. f surjektiv ist, weiß ich nicht mehr, welche Quantoren ich jetzt genau brauche...
analog nach der Anwendung von g ist surjektiv.

Kannst du mir da helfen?

25.10.2012, 13:06

Mazze

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Zitat:

Ist das richtig so?

Im Prinzip schon, nur die Reihenfolge ist etwas merkwürdig. Es sei

$\begin{eqnarray*} o \in O \end{eqnarray*}$ , da g Surjektiv ist gibt es ein $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g(n) = o \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es aber auch, da f Surjektiv ist ein $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m) = n \end{eqnarray*}$ . Insgesamt ist dann

$\begin{eqnarray*} g(f(m)) = o \end{eqnarray*}$

und damit die Komposition surjektiv.

Zitat:

Ich hatte noch etwas Probleme die Quantoren jeweils zu verwenden. Als oin der 1. Zeile sind sie klar, aber nachdem ich anwende, dass z.B. f surjektiv ist, weiß ich nicht mehr, welche Quantoren ich jetzt genau brauche... analog nach der Anwendung von g ist surjektiv.

Hm, was genau ist dein Problem?

25.10.2012, 16:43

Tubi

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an dieser Stelle erst mal ein kleines Zwischendankeschön, du hast mir schon sehr geholfen smile

Also anschaulich habe ich das ganze auch verstanden. Und das was du geschrieben hast, leuchtet mir ein.

Mein Problem liegt darin, das formal richtig zu zeigen. Ich gehe also von der Definition aus:

g ist surjektiv: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall_{o \in O} \exists_{n \in N}: g(n)=0 \end{eqnarray*}$
f ist surjektiv: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall_{n \in N} \exists_{m \in M}: f(m)=n \end{eqnarray*}$

und möchte zeigen, das gilt:

$\begin{eqnarray*} h= g \circ f ist surjektiv: [latex] \Leftrightarrow \forall_{o \in O} \exists_{m \in M}: g(h)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich den ersten Schritt machen, also mit der Bedingung, dass f surjektiv ist, folgt aus dieser letzten Definition $\begin{eqnarray*} g(f(m))=0 \Rightarrow g(n)=0 \end{eqnarray*}$ Allerdings weiß ich nicht, was ich davor schreiben soll an Quantoren...

$\begin{eqnarray*} \forall_{ n \in N} \exists_{ m \ in M} \forall_{ o \in O} \exists_{ m \in M} : g(n)=0 \end{eqnarray*}$

Ich hatte mir schon überlegt, ob ich z.B. die Quantoren

$\begin{eqnarray*} \exists_{n \in N} \forall_{n \in N} \end{eqnarray*}$ "wegkürzen" kann?

mit g surjektiv folgt jetzt:
$\begin{eqnarray*} \forall_{ o \in O} \exists_{ n \in N} \forall_{ n \in N} \exists_{ m \ in M} \forall_{ o \in O} \exists_{ m \in M} : 0=0 \end{eqnarray*}$

durch "Kürzen würde hier folgen:
$\begin{eqnarray*} \forall_{ o \in O} \exists_{ m \ in M} \forall_{ o \in O} \exists_{ m \in M} : 0=0 \end{eqnarray*}$

und da die Quantoren o und M hier doppelt stehen folgt:

$\begin{eqnarray*} \forall_{ o \in O} \exists_{ m \ in M} : 0=0 \end{eqnarray*}$

Bin mir unsicher, ob das so passt...

25.10.2012, 16:50

Mazze

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Man muss die Dinge ja nicht überkomplizieren. Ich habe weiter oben schon einen vollständigen Beweis für die Surjektivität beschrieben. Ich sehe auch nicht was der übermäßige gebrauch von Quantoren bringen soll.

26.10.2012, 21:19

Tubi

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ok, alles klar. Wenn der obige Beweis formal auch richtig ist und ich nicht die ganzen Quantoren verwenden muss (ich dachte ich müsste das aufgrund der Definition aber umso besser wenn nicht), vereinfacht das die Sache natürlich..

Vielen Dank für deine Hilfe smile

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