Beweis: x²>0

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25.10.2012, 14:38	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: x²>0 Hallo, Ich bin's schon wieder: Ich soll beweisen,dass in einem geordneten Körper stets gilt: $\begin{eqnarray} x²>0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ Idee: Naja, naja, Ich habe es umgeschrieben: $\begin{eqnarray} xx>0 \end{eqnarray}$ dann das Inverse zu x dranmultipliziert: $\begin{eqnarray} x^{-1} (xx) >0 \end{eqnarray}$ Assoziativgesetz: $\begin{eqnarray} (x^{-1} x)x>0 \end{eqnarray}$ dann bleibt: $\begin{eqnarray} 1x>0 \end{eqnarray}$ übrig dann hätte ich das x größer 0 ist, und immer wenn x größer 0 ist, ist auch das Ergebnis von x² immer > 0. Ist das ein Beweis?
25.10.2012, 16:29	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
dann fehlt dir allerdings noch der fall $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ Außerdem hast du folgendes Problem: du gehst von der Behauptung aus und folgerst dann, dass $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ist. Allerdings kann man auch aus etwas falschem etwas wahres folgern!!! Also probiere es umgekehrt Benutze die Anordnungsaxiome!!!
25.10.2012, 16:46	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.. Muss ich einfach das Gegenteil beweisen, also das gilt: $\begin{eqnarray} -x²<0 \end{eqnarray}$ ?
25.10.2012, 17:04	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
nein auch nicht... angenommen $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}_+ \iff x>0 \end{eqnarray}$ dann folgt für $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ? und warum gilt das?
25.10.2012, 17:07	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das Quadrat gilt dann aufjedenfall $\begin{eqnarray} x²>0, \end{eqnarray}$ da jede positive Reelle Zahl quadriert > 0 ist. Oder sehe ich das falsch? Sorry, ich bin Ersti, Ich komme noch nicht so ganz klar, was glaube ich anfangs normal ist, aber ich will aufjedenfall dran bleiben, deshalb frage ich lieber Danke schon mal
25.10.2012, 17:25	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
ja kein ding!!! Also das Anordnungsaxiom besagt ja, dass wenn $\begin{eqnarray} x,y \in\mathbb{R}_+ \end{eqnarray}$ dann ist auch $\begin{eqnarray} x+y\in\mathbb{R}_+ \end{eqnarray}$ Dann kann man zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray} x>y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z>0 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} xz>yz \end{eqnarray}$ edit: habt ihr ggf. in der vorlesung schon getan...
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25.10.2012, 17:30	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay und jetzt steht $\begin{eqnarray} x² \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ? Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch sorry...
25.10.2012, 17:33	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
sry, korrekur: Anordnungsaxiom gilt für $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ Also... sei $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ , was folgt dann?
25.10.2012, 17:37	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
dann folgt das $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x²>0 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} x²=z \end{eqnarray}$ .
25.10.2012, 17:41	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn $\begin{eqnarray} z=x^2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x\cdot z = x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ muss anders gesetzt werden. Denke an die anfangs gestellte Annahme
25.10.2012, 17:46	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
dann muss z=x sein, dann stände dort x²>0
25.10.2012, 17:50	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist es! Fassen wir zusammen: wenn $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ dann gilt wegen der Folgerung aus dem Anordnungsaxiom $\begin{eqnarray} x^2:=x\cdot x>0\cdot x \end{eqnarray}$ und widerum wegen der Folgerungen aus den Körperaxiomen $\begin{eqnarray} x^2>0 \end{eqnarray}$ Wenn man es wirklich ausführlich macht^^... okay, jetzt haben wir den Fall, wenn $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}_+ \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ Was ist wenn das nicht gilt?
25.10.2012, 18:00	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss es heißen $\begin{eqnarray} -x² = -x-x>0-x \end{eqnarray}$ das heißt $\begin{eqnarray} -x²>0 \end{eqnarray}$ oder?
25.10.2012, 18:06	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -x^2 \neq -x \cdot -x \end{eqnarray}$ !!! du weißt über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} (-x)>0 \end{eqnarray}$
25.10.2012, 18:26	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay.. was genau bringt mir diese Erkenntnis?.. Ich verstehe irgendwie nicht, wie ich jetzt beweise, dass $\begin{eqnarray} x²>0 \end{eqnarray}$ ist.. Ich mein ich weiß jetzt, dass $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} x\in R+ \end{eqnarray}$ Und nun muss ich noch beweisen, dass, áuch wenn $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ ist, $\begin{eqnarray} x²>0 \end{eqnarray}$ ist. das bedeutet ja, dass wenn $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ ist, $\begin{eqnarray} -x>0 \end{eqnarray}$ ist und da $\begin{eqnarray} (-x)²=x²>0 \end{eqnarray}$ ist, ist die Aussage $\begin{eqnarray} x²>0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ außer $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ beweisen. Oder?
25.10.2012, 18:32	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
genau so ist es! ggf. solltest du mittels Anwendung der Körperaxiome zeigen (sofern ihr das noch nicht gemacht habt), dass $\begin{eqnarray} (-x)(-x)=(-1)(-1)x^2=x^2 \end{eqnarray}$ aber das entfällt ja, wenn das nach Vorlesung allgemein bekannt ist. Aber verstehst du, weshalb man so vorgehen muss und nicht anders herum?
25.10.2012, 18:41	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
wie denn andersherum? .. ich versteh jetzt gar nichts mehr gearde:P
25.10.2012, 18:47	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
ja du hast ja anfangs gesagt $\begin{eqnarray} x^2 > 0 \implies x^{-1}\cdot x\cdot x = x >0 \end{eqnarray}$ Verstehst du warum der Weg falsch ist, der eben erarbeitete aber richtig?
25.10.2012, 18:49	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
weil ich nur gezeigt habe, dass x>0 ist, aber nicht das es auch für -x gilt?
25.10.2012, 18:54	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, wenn x^2>0 wahr ist folgerst du natürlich was wahres, nämlich, dass x>0 ist. Nehmen wir mal an x^2>0 könnte auch falsch sein, das wollen wir ja gerade beweisen, dann können wir trotzdem was wahres draus folgern! du musst bei einer folgerung immer von einer wahren aussage ausgehen, also z.b. der wahren voraussetung: "sei x>0 ..." oder "sei x<0 ..."
25.10.2012, 18:55	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich muss immer einfach sagen,d ass ist richtig und muss dann schauen, ob das stimmt?
25.10.2012, 19:01	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube du meinst das richtige^^ in diesem speziellen fall haben wir gesagt: ich nehme mir ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , und dieses x ist positiv. daran kann keiner rütteln, es ist nun mal positiv. dann folgere ich richtig und zeige am ende, dass wenn $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ist, dann auch $\begin{eqnarray} x^2>0 \end{eqnarray}$ . dann nehme ich mir ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , dass negativ ist. wenn $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ , dann ist das dazu inverse $\begin{eqnarray} (-x) >0 \end{eqnarray}$ und den rest haben wir für ein positives $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ (im zweiten fall heißst es halt $\begin{eqnarray} (-x) \end{eqnarray}$ ) schon gezeigt. wir wenden dann nur noch an, dass $\begin{eqnarray} (-1)(-1)=1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} (-x)(-x)=x^2 \end{eqnarray}$ ist.
25.10.2012, 19:03	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, super. Danke Jetzt habe ich es verstanden. Ich werde hunderpro morgen nochmal was fragen zu einer anderen Aufgabe, kannst ja mal die Augen offen halten Oder ich frage dich per Facebook oder so
25.10.2012, 19:07	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
kein thema!

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