Holomorphie und Reihen

25.10.2012, 16:27	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphie und Reihen Meine Frage: Es sei f: $\begin{eqnarray} K_1(0)\rightarrow \mathbb C, z\mapsto \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n} \frac{z^{2n+1} }{2n+1} \end{eqnarray}$ a)Zeige, dass f wohldefiniert und holomorph ist. b)zeige, dass f'(z)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+z^{2}} \end{eqnarray}$ für alle z aus dem Definitionsbereich ist c) Zeige, dass f(z)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{2i} Log \left(\frac{1+iz}{1-iz} \right) \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Hallo zusammen ich sitze momentan an dieser Aufgabe und komme nicht voran das sind meine Überlegungen bis jetzt: zu a) um wohldefiniertheit zu zeigen muss ich eindeutigkeit und existens zeigen... wie mach ich das an dieser Rreihe (mit diesem Definitionsbereich?)? um holomorphie einer Potenzreihe zu zeigen muss ich ja den Konvergenzradius bestimmen: ich würde hier die 2n+1 durch etwas substituieren und bekomme dann: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{\frac{k-1}{2}} z^{k} }{k} \end{eqnarray}$ ist es richtig und kann ich damit weiter rechnen?? zu b) um die Reihe abzuleiten kommt doch dies raus: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n} \frac{z^{2n} }{(2n+1)^2} \end{eqnarray}$ oder?? doch wie geh ich weiter damit um zu c) da habe ich leider noch garkeine Idee
25.10.2012, 19:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Holomorphie und Reihen Hallo, a) Die Eindeutigkeit sollte hier kein Problem sein; wenn du unbedingt etwas dazu sagen möchtest, ist das die Eindeutigkeit des Grenzwertes konvergenter Folgen aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Zur Existenz zeigst du die Konvergenz der Reihe auf dem Definitionsgebiet. Dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ holomorph ist, folgt dann aus der Potenzreihendarstellung. b) Die Ableitung hast du falsch gebildet... c) Da könntest du z.B. $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ integrieren. mfg, Ché Netzer
25.10.2012, 20:24	Anjuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Tipps ich werde sie erstmal umsetzen und mich nochmal melden

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