Totales Differential mit einer Wurzelfunktion

25.10.2012, 17:56

Gamze28

Totales Differential mit einer Wurzelfunktion

Meine Frage:
Hallo..
ich bin Chemiestudentin und verzweifle gerade beim totalen Differential unglücklich

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Bilden Sie das totale Differential dr^3 mit r = $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$

Lösung: 3r (xdx + ydy + zdz)
Also das totale Differential wird ja aus der Summe aller partiellen Ableitungen gebildet; also r jeweils nach x,y und z abgeleitet.
Mein Problem hier ist, dass ich keine Ahnung hab wie ich aus der Wurzel rauskomme; weil ich ja dr^3 nehmen muss..
Leider kann ich trotz der angegebenen Lösung den Rechenweg nicht nachvollziehen.
Wahrscheinlich ist es total einfach aber ich komme ehrlich nicht weiter unglücklich

Schonmal Danke im Vorraus an alle die mir weiterhelfen!

Meine Ideen:
r^3= $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^2 \cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2} <br /> = x^2+y^2+z^2 \cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$

25.10.2012, 18:24

EinGast

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RE: Totales Differential mit einer Wurzelfunktion
das totale Differential einer Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (x,y,z)\mapsto f(x,y,z) \end{eqnarray*}$ , ist nach Definition

$\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x}dx +\frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \end{eqnarray*}$

hier hast du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=r^3=(x^2+y^2+z^2)^{3/2} \end{eqnarray*}$ , also musst du davon die partiellen Ableitungen bilden (Kettenregel) ...

25.10.2012, 18:46

Gamze28

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ok, ich habe dann die partiellen Ableitungen
f' nach x $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \cdot 2x \end{eqnarray*}$ und jeweils mit y und z..
dann wäre das totale differential doch 3(xdx+ydy+zdz); wieso ist das r mit eingebracht?

25.10.2012, 19:08

EinGast

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Zitat:

Original von Gamze28
f' nach x $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \cdot 2x \end{eqnarray*}$

nein, die Ableitung der äusseren Funktion stimmt nicht - es gilt $\begin{eqnarray*} f=g\circ h \end{eqnarray*}$ wobei die innere Funktion $\begin{eqnarray*} h(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$ und die äussere $\begin{eqnarray*} g(t)=t^{3/2} \end{eqnarray*}$ ist. ( $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sind Konstanten, da wir nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten wollen). Die Kettenregel sagt nun

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=g'\Bigl(h(x,y,z)\Bigr)\cdot \frac{\partial h}{\partial x}(x,y,z) \end{eqnarray*}$

25.10.2012, 20:06

Gamze28

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also wäre die Ableitung nach x dann:
$\begin{eqnarray*} 2x \cdot \frac{3}{2} \left(x^2+y^2+z^2\right)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

und dasselbe dann mit 2y und 2z am anfang?
aah und da sehe ich das r smile

dankee

25.10.2012, 20:14

EinGast

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richtig

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