Integral von y^(2/3)+x^(2/3)=a^(2/3)

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roland_lieret Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von y^(2/3)+x^(2/3)=a^(2/3)
Hallo

ich komme bei einer Integralaufgabe einfach nicht weiter.
Folgendes ist gegeben:


durch Integration soll die Fläche berechnet werden.

Als Ergebnis ist folgendes gegeben:


Ich komme einfach nicht auf den Rechenweg.

Kann mir einer weiterhelfen?
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich um den Flächeninhalt des von einer Astroide
(Sternkurve) berandeten Gebiets, richtig? Zweckmäßig ist eine Substitution
in an die Kurve angepasste Koordinaten, z.B.



Liebe Grüße
Mario
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Roland,

Marios Vorschlag ist sicherlich der einfachste.
Vorher kannst du jedoch noch feststellen, dass die Flaeche proportional zu a^2 ist, du kannst also noch einfacher rechnen, indem du zunaechst a=1 setzt, und zuletzt das Ergebnis wieder mit a^2 multiplizierst.

Wenn du stattdessen die Formel (fuer a=1) nach y umstellen und das Integral fuer x=0..1 bestimmen willst, dann kannst du zwei Substitutionen durchfuehren, die dich auf eine Summe von Integralen von sin-Potenzen fuehren.
Die Substitionen die ich verwendet habe sind u^3 = x und sin(t) = u.
roland.lieret Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Tipps,

aber irgendwie finde ich nicht den Einstieg.

Kann mir vielleicht einer oder eine weiterhelfen


Ich wäre euch dankbar


Gott
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere



Dann ist

.

Du kanns also die Integration über Dein 2-dim. Gebiet mit der Funktion 1 in kartes. Koordinaten mit der Transformationsformel übersetzen in eine Integration von r=0 bis a und \phi = 0 bis \pi/2 mit der Funktion .

Der Vorschlag von Shopgirl mit r=0..1 und anschließender Multipl. mit a^2 ist übrigens auch nichts anderes als eine (sehr triviale und damit handwerklich leichte) Anwendung derselben Transformationsformel.

Ich hoffe, das hilft weiter

liebe Grüße
Mario
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