Beweis: Teilmenge der Urmenge = oder Teilmenge von Urbild

25.10.2012, 19:28	Verdruss	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Teilmenge der Urmenge = oder Teilmenge von Urbild Hallo! Ich habe jetzt angefangen, Mathematik zu studieren und das erste Übungsblatt zeigt großartig, dass ich mit den Beweisen noch sehr unsicher bin. Darum wollte ich euch bitten, ob sich vielleicht jemand folgendes anschauen könnte und schauen könnte, ob das so richtig notiert und ausreichend ist. Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} X, Y \end{eqnarray}$ beliebige nichtleere Mengen und $\begin{eqnarray} f : X -> Y \end{eqnarray}$ eine Funktion. Beweisen sie, dass $\begin{eqnarray} A \subseteq f^{-1}[f[A]] \end{eqnarray}$ für alle Teilmengen A von X. Mein Beweis: Zu zeigen: $\begin{eqnarray} x \in A \Rightarrow x \in f^{-1}[f[A]] \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x \in A \Rightarrow f(x) \in f[A] \end{eqnarray}$ Laut Definition des Urbildes ist $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}[f[A]], \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} f(x) \in f[A]. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f[A]=\left\{ f(x) \| x \in A\right\}. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in A \Rightarrow f(x) \in f[A] \Rightarrow x \in f^{-1}[f[A]] \end{eqnarray}$ Das war Nummer 1. Beweisen sie, dass $\begin{eqnarray} A = f^{-1}[f[A]] \end{eqnarray}$ für alle Teilmengen A von X genau dann, wenn f injektiv ist. Mein Beweis: Zu zeigen: $\begin{eqnarray} x \in A \Rightarrow x \in f^{-1}[f[A]] \end{eqnarray}$ (wurde in a gemacht) $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}[f[A]] \Rightarrow x \in A \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}[f[A]] \Rightarrow f(x) \in f[A]=\left\{ f(y) \| y \in A\right\} \end{eqnarray}$ Durch Injektivität gilt $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}[f[A]] \Rightarrow x \in A \end{eqnarray}$ Also sind die Mengen jeweils Teilmengen voneinander und damit gleich. Stimmt das? Ausreichend? Notationsfehler? Ich brauche eine Expertenmeinung Verdruss
07.11.2012, 02:35	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Teilmenge der Urmenge = oder Teilmenge von Urbild Dein Beweis zu Nummer 1 ist richtig. Deine Idee zu Nummer 2 wohl auch, aber Du solltest nochmal ausführlicher begründen, wie Du mit der Injektivität von $\begin{eqnarray} f(x) \in f[A]=\left\{ f(y) \| y \in A\right\} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} x \in f^{-1}[f[A]] \Rightarrow x \in A \end{eqnarray}$ kommst.
08.11.2012, 00:40	Verdruss	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Ich hab das Übungsblatt schon wieder bekommen, für meinen Tutor hats so auch gereicht. Aber vielen Dank dir!

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