Ist die Funktion umkehrbar?

25.10.2012, 19:45	wiing	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Funktion umkehrbar? Meine Frage: Hallo, gefragt ist, ob die Abbildung Umkehrbar ist und man soll dieses dann begründen und ggf. die Umkehrfunktion erstellen. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} f:\mathbb R 0+\Rightarrow \mathbb R 0+, x\Rightarrow 2x^{n}, x \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (das R0+ soll heißen im positivem bereich und 0 wusste nicht wie man das einfügt) Dabei habe ich folgenden Ansatz probiert: $\begin{eqnarray} \forall x_{1},x_{2} \in \mathbb R0+ \| 2 x_{1}^{n}=2 x_{2}^{n} , n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x_{1}^n = x_{2}^{n}<br /> \Rightarrow x_{1}= x_{2} \end{eqnarray}$ da ja das negative ausscheidet. Somit ist die Funktion injektiv. $\begin{eqnarray} \forall y\in \mathbb R 0+ gilt f(x)=y (y=2x^{n}) \end{eqnarray}$ mit x = nte Wurzel aus (y/2) Es werden alle Elemente aus R0+ getroffen und somit ist die Abbildung surjektiv und umkehrbar. Die Umkehrfuntion wäre dann $\begin{eqnarray} f^{-1}(x)= \end{eqnarray}$ nte Wurzel aus (x/2) $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Was meint ihr oder hab ich da was falsch verstanden? Danke
25.10.2012, 19:48	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist die Funktion umkehrbar? Hi, eine Funktion ist Umkehrbar wenn $\begin{eqnarray} f(g(x))=g(f(x))=x \end{eqnarray}$ gilt. D.h. bilde die Umkehrfunktion und gehe die Kompositionen durch.
25.10.2012, 20:23	wiiing	Auf diesen Beitrag antworten »
du meinst also ich soll die umkehrfunktion in die ursprüngliche funktion einsetzen und einen beispielwert einsetzen?
25.10.2012, 20:30	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, keinen Beispielwert. Du setzt einmal die Umkehrfunktion in die Originalfunktion ein und einmal die Originalfunktion in die Umkehrfunktion. Wenn in beiden fällen x herauskommt, dann ist die Funktion umkehrbar.
25.10.2012, 20:49	wiiing	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann mache ich das gleich mal. Waren denn meine Überlegungen falsch oder auch richtig nur umständlicher?
25.10.2012, 21:04	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin ehrlich gesagt hinter deinen Beweis nicht wirklich durchgestiegen da du ihn meiner Meinung nach unvollständig aufgeschrieben hast. Wenn noch jemand dazu was sagen möchte der darf es gerne tun.
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