Links und Rechtsinverse wie möglich?

25.10.2012, 19:57

Mathsem1

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Links und Rechtsinverse wie möglich?

Meine Frage:
Hallo Leute ich hätte eine Frage. Es heißt ja, wenn es zum einem f: A -> B eine linksinverse g: B-> A gibt mit
g(f(a))= idA, dann ist f Injektiv. Ich verstehe aber nicht so ganz, wie es funktionieren kann. Injektivität bedeutet ja, dass jedem Bild max. ein Urbild zugeordnet wird, d.h. ein Funktionswert in B hat entweder 1 oder gar kein Urbild in A. Ein Beispiel. Wäre A (1,2,3) und B = (1,2,3,4). z.B: würde ich die Zuordnung so verteilen: f(1)=1, f(2)=2 und f(3)=3. 4 hat also kein Urbild.

Nun zu der Frage. Wenn ich aus B zurück nach A abbilden will, wie geht das? 4 hat ja kein Pendant und ich kann ihm somit kein Bild zuordnen! Damit wäre es doch keine Funktion mehr, oder? Sind Umkehrfunktionen nicht generell immer bijektiv? Daher kann f doch gar nciht injektiv sein!

Wäre cool, wenn es mir jemand mal erklärt :/

Gruß

Meine Ideen:
ideen stehen oben drin :/

25.10.2012, 20:37

zweiundvierzig

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RE: Links und Rechtsinverse wie möglich?

Zitat:

Original von Mathsem1
Injektivität bedeutet ja, dass jedem Bild max. ein Urbild zugeordnet wird, d.h. ein Funktionswert in B hat entweder 1 oder gar kein Urbild in A.

So stimmt das nicht. Das ist eine häufige Verwirrung und hängt mit dem Unterschied zwischen Bildbereich und Bildmenge zusammen. Wenn $\begin{eqnarray*} f \colon A \to B \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist, dann nennt man $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ den Bildbereich und $\begin{eqnarray*} \mathrm{im} f \end{eqnarray*}$ die Bildmenge (oder schlicht das Bild). In $\begin{eqnarray*} \mathrm{im} f \end{eqnarray*}$ sind gerade alle Elemente der Form $\begin{eqnarray*} f(a), ~ a \in A \end{eqnarray*}$ , eben die Bildelemente. Natürlich hat jedes Bildelement somit ein Urbild. Aber $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ kann eben noch mehr als nur $\begin{eqnarray*} \mathrm{im}f \end{eqnarray*}$ enthalten, d.h. Elemente enthalten, die nicht als Bilder von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auftreten. Eine gegebene Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon A \to B \end{eqnarray*}$ ist im allgemeinen nicht surjektiv, aber man kann immer die sog. Koeinschränkung betrachten, die ich der Einachheit halber auch mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezeichne, nämlich $\begin{eqnarray*} f \colon A \to \mathrm{im} f \end{eqnarray*}$ . Man nimmt genau dieselbe Abbildungsvorschrift wie für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bloß verkleinert den betrachteten Zielbereich auf die Menge der tatsächlich angenommenen Bilder. Beispiel: Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon \{1\} \to \mathbb Z, 1 \mapsto 1 \end{eqnarray*}$ ist natürlich nicht surjektiv, die Koeinschränkung mit $\begin{eqnarray*} f \colon \{1\} \to \{1\} \end{eqnarray*}$ hingegen schon.

Zitat:

Original von Mathsem1
Ein Beispiel. Wäre A (1,2,3) und B = (1,2,3,4). z.B: würde ich die Zuordnung so verteilen: f(1)=1, f(2)=2 und f(3)=3. 4 hat also kein Urbild.

Ja, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injektiv und $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ hat kein Urbild. Das ist aber auch nicht schlimm, denn Du kannst trotzdem eine linksinverse Abbildung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ definieren. Natürlich musst Du $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ festlegen. Aber die Bedingung dabei lautet $\begin{eqnarray*} g(f(a)) = \mathrm{id}_A \end{eqnarray*}$ , d.h. für die Inversität zählt nur, was $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf allen Elementen der Form $\begin{eqnarray*} f(a), ~ a \in A \end{eqnarray*}$ , eben der Bildmenge $\begin{eqnarray*} \mathrm{im}f \subsetneq B \end{eqnarray*}$ macht. Wie kann hier ein solches $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aussehen?

Zitat:

Original von Mathsem1
4 hat ja kein Pendant und ich kann ihm somit kein Bild zuordnen!

...eben doch und das macht auch nichts, wie Du gleich sehen solltest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.10.2012, 23:35

Mathsem1

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Hallo 42!

Erst mal vielen vielen Dank für die Antwort! Durch deine Erklärung ist mir der Unterschied zwischen Bildbereich und Bildmenge klarer geworden.

Trotzdem ist mir beim zweiten Teil noch nicht so klar, wie man eine linksinverse "definieren soll". ICh bin noch recht neu im Hochschulmathematik :/ KAnnst du mir kurz erläutern, wie man so ein g darstellen würde bzw. ein Tipp geben, wie die Notation soeiner Inverse aussieht? Und was meinst du mit "g auf B festlegen"?

Vielen Dank für deine Hilfe!

26.10.2012, 00:02

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mathsem1
Und was meinst du mit "g auf B festlegen"?

Damit meine ich schlicht, $\begin{eqnarray*} g \colon B \to A \end{eqnarray*}$ zu definieren. Und das wollen wir nun machen.

Was würdest Du denn mit den Elementen $\begin{eqnarray*} 1,2,3 \end{eqnarray*}$ machen, wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ linksinvers zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein soll?

26.10.2012, 08:40

Mathsem1

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Nun ich müsste wohl g zurück auf f abbilden, also g(1) = 1, g(2)=2 und g(3) = 3. Soweit versteh ich es ja. Aber sehe ich es richtig dass du meinst, dass wir die 4, die ja ebenfalls Element von B ist, nicht beachten, da nur Elemente imf beachtet werden, die ein Urbild besitzen? es will mir außerdem nicht einleuchten, warum hier überhaupt Inverse gebildet werden, da Voraussetzung für eine Umkehrfunktion ja Bijektivität ist?

Ich finde es toll, wie du mir nciht gleich alles verräts und mir Tipps gebst Freude

Freude

26.10.2012, 12:06

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mathsem1
Nun ich müsste wohl g zurück auf f abbilden, also g(1) = 1, g(2)=2 und g(3) = 3. Soweit versteh ich es ja. Aber sehe ich es richtig dass du meinst, dass wir die 4, die ja ebenfalls Element von B ist, nicht beachten, da nur Elemente imf beachtet werden, die ein Urbild besitzen?

Ja, sozusagen. Du hast $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1,2,3 \end{eqnarray*}$ schon richtig definiert. Natürlich müssen wir noch $\begin{eqnarray*} g(4) \end{eqnarray*}$ definieren, da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ als Abbildung auf ganz $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ festgelegt werden muss. Aber da $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ nicht im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt, "sieht" $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ dieses Element auch nicht. Wie können wir also $\begin{eqnarray*} g(4) \end{eqnarray*}$ wählen?

Zitat:

Original von Mathsem1
es will mir außerdem nicht einleuchten, warum hier überhaupt Inverse gebildet werden, da Voraussetzung für eine Umkehrfunktion ja Bijektivität ist?

Es ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eben kein Inverses, sondern nur ein Linksinverses. Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn sie eine linksinverses Funktion hat, die gleichzeitig auch Rechtsinverses ist (diese wird Umkehrfunktion genannt). Das ist, wie Du richtig erkannt hast, hier nicht der Fall aber eben auch nicht in der Aufgabe behauptet.

Zitat:

Original von Mathsem1
Ich finde es toll, wie du mir nciht gleich alles verräts und mir Tipps gebst Freude

Freude

Ich finde es toll, dass Du meinen Tipps folgst und auf meine vorgeschlagenen Gedankengänge eingehst. smile

smile

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26.10.2012, 14:58

Mathsem1

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Hallo 42!

g(4) kann man also nciht sehen, sprich, können wir sagen g(4) = 0?

Linksinvers bedeutet also, dass man nur von A auf B abbilden kann und rechtsinvers nur von B auf A?
Außerdem, wenn f injektiv ist, so ist doch g die linksinverse zu f und nicht umgekehrt?

Danke für deine schnellen und präzisen Antworten!

26.10.2012, 15:17

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mathsem1
g(4) kann man also nciht sehen, sprich, können wir sagen g(4) = 0?
!

Naja, $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist kein Element von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Das "nicht sehen" meinte ich so: Wir können $\begin{eqnarray*} g(4) \end{eqnarray*}$ als ein beliebiges Element von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ definieren. Also $\begin{eqnarray*} g(4) = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(4) =2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(4) = 3 \end{eqnarray*}$ . Die Linksinversität wird davon nicht beeinflusst, denn sie ist nur durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} g(f(a)) = a \end{eqnarray*}$ gegeben. Da es aber kein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(a) =4 \end{eqnarray*}$ , kommt $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ in dieser Gleichung nicht vor.

Zitat:

Original von Mathsem1
Linksinvers bedeutet also, dass man nur von A auf B abbilden kann und rechtsinvers nur von B auf A?

Naja, für Abbildungen $\begin{eqnarray*} f \colon A \to B, ~ g \colon B \to A \end{eqnarray*}$ nennt man $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein Linksinverses zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn gilt $\begin{eqnarray*} g \circ f = \mathrm{id}_A \end{eqnarray*}$ . In derselben Situation heißt analog $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ rechtsinvers zu $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mathsem1
Außerdem, wenn f injektiv ist, so ist doch g die linksinverse zu f und nicht umgekehrt?

Ja, da hatte ich mich natürlich oben verschrieben.

26.10.2012, 19:24

Mathsem1

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Hallo 42,

Ich glaube, ich habe nun fast alles verstanden. Nur noch ein letzter Punkt. g(4) ist also ein beliebiges Element von A. Aber wenn schon gilt g(1)=1 und sagen sagen wir g(4) ebenfalls 1 ist, dann ist die Funktion doch nicht mehr injektiv oder? dann wäre ja f(1) = 1 UND 4. Oder meinst du damit, dass wir sozusagen erst mal f abbilden , und dann für g(4) ganz andere Regeln gelten?

Das ist meine letzte Frage, bisher Vielen Dank für deine Unterstützung!

Gruß

26.10.2012, 19:46

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mathsem1
Ich glaube, ich habe nun fast alles verstanden. Nur noch ein letzter Punkt. g(4) ist also ein beliebiges Element von A. Aber wenn schon gilt g(1)=1 und sagen sagen wir g(4) ebenfalls 1 ist, dann ist die Funktion doch nicht mehr injektiv oder?

Ja, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist dann natürlich nicht injektiv (das würde ohnehin auch bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \end{eqnarray*}$ ist), aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach wie vor schon. Und nichts anderes behauptet auch der am Thread-Anfang erwähnte Satz. An der Definition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ haben schließlich wir auch nichts verändert.

Zitat:

Original von Mathsem1
dann wäre ja f(1) = 1 UND 4.

Nein, wieso sollte das gelten? Dann wäre $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Abbildung. Wie schon gesagt, das Element $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ liegt gar nicht im Bild von $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ . Trotzdem müssen wir $\begin{eqnarray*} g(4) \end{eqnarray*}$ definieren, da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ als Abbildung auf ganz $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ definiert sein muss. Aber Du wirst nie eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} g(f(a)) = g(4) = \ldots \end{eqnarray*}$ dastehen haben...eben, weil $\begin{eqnarray*} 4 \notin \mathrm{im}(f) = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ .

26.10.2012, 22:45

Mathsem1

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Hallo!

Linksinvers heißt also nur, wenn g(f(a))=idA (a) gilt. Wir nehmen also an, dass das Element in B, falls es kein Urbild hat, auf ein festgewähltes Element in A zugeordnet wird. Das dient aber nur der Vollständigkeit und dieses A ist nicht klar definiert. Die Formel g(f(a)) setzt sowieso voraus, dass nur Werte in B MIT URbild angesprochen werden.
Sehe ich das soweit richtig?

26.10.2012, 23:09

Sly

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Zitat:

Linksinvers heißt also nur, wenn g(f(a))=idA (a) gilt. Wir nehmen also an, dass das Element in B, falls es kein Urbild hat, auf ein festgewähltes Element in A zugeordnet wird. Das dient aber nur der Vollständigkeit

Ja. Wobei "dient der Vollständigkeit" dem Sachverhalt nur halb gerecht wird, wir brauchen eben eine Abbildung auf ganz B per Definition.

Zitat:

und dieses [Element in] A ist nicht klar definiert.

Doch, DEFINIERT muss es natürlich sein. Man hat nur eine gewisse Wahlfreiheit.
Das ist ein großer Unterschied zu einer Umkehrfunktion. Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung ist eindeutig bestimmt, das ist dir auch bekannt, wie ich aus deinen Posts heraus lese. Ein Linksinverses ist, wie man an deinem Beispiel sieht, eben keinesfalls eindeutig bestimmt durch die injektive Abbildung. In der Regel gibt es sogar ganz viele.

26.10.2012, 23:11

zweiundvierzig

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Naja, $\begin{eqnarray*} g(4) \end{eqnarray*}$ muss natürlich eindeutig definiert werden. Aber es kann eben mehrere mögliche linksinverse Abbildungen geben, wie es in unserem Beispiel ja auch der Fall ist.

Edit: Sly war schneller.

26.10.2012, 23:52

Mathsem1

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Worauf bezieht sich denn diese "Wahlfreiheit " genau? Wie kann man sich die SAche mit den "vielen Möglichkeiten" vorstellen? ich glaub ich bin nur noch ein klares Beispiel entfernt von der Eingebung.

Danke Leute!

26.10.2012, 23:55

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wir können $\begin{eqnarray*} g(4) \end{eqnarray*}$ als ein beliebiges Element von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ definieren. Also $\begin{eqnarray*} g(4) = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(4) =2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(4) = 3 \end{eqnarray*}$ .

Nochmal explizit: Wir können definieren $\begin{eqnarray*} g, g', g'' \colon B \to A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g|_{\{1,2,3,\}}(x) = g'|_{\{1,2,3,\}}(x) = g''|_{\{1,2,3,\}}(x) := x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(4) = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g'(4) = 2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g''(4) = 3 \end{eqnarray*}$ . Dann sind alle diese drei Abbildungen $\begin{eqnarray*} g, g', g'' \end{eqnarray*}$ Linksinverse von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

26.10.2012, 23:57

Mathsem1

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AChso ich glaube ich habs verstanden. Bedeutet es , dann das g(4) eben auf verschiedene Elemente in A abgebildet werden kann, das hängt eben von der Art der linksinversen ab? (da es viele gibt)

27.10.2012, 00:01

Mathsem1

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Danke 42, dein letztes Beispiel hat es mir klar gemacht. Nur noch ganz kurz: Du hast für die Werte von g(4) in allen Fällen ein anderen Wert aus A genommen. Sind die Linksinversen also dadurch definiert, wie man dem Element aus B , das kein Urbild hat, den Werten aus A zuordnet? Die verschiedenen Zuordnungen sind alle verschiedene Linksinverse

27.10.2012, 00:23

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mathsem1
AChso ich glaube ich habs verstanden. Bedeutet es , dann das 4 eben auf verschiedene Elemente in A abgebildet werden kann, das hängt eben von den linksinversen ab? (da es viele gibt)

Ja (siehe meine Verbesserungen).

Zitat:

Original von Mathsem1
Danke 42, dein letztes Beispiel hat es mir klar gemacht. Nur noch ganz kurz: Du hast für die Werte von g(4) in allen Fällen ein anderen Wert aus A genommen. Sind die Linksinversen also dadurch definiert, wie man dem Element aus B , das kein Urbild hat, den Werten aus A zuordnet? Die verschiedenen Zuordnungen sind alle verschiedene Linksinverse

Ja, genau. Wenn $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ noch größer wäre, hätten wir somit noch einige Linksinverse mehr.

27.10.2012, 00:44

Mathsem1

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Habs verstanden!

Vielen Dank für deine freiweillige und schnelle Hilfe smile

smile

27.10.2012, 00:58

zweiundvierzig

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Bitteschön. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2012, 11:32

Mathsem1

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Hallo 42! Sorry dass ich mich nochmal melde, aber mir ist doch noch etwas eingefallen. Londoners hab ich verstanden, aber wie ist's mit rechtsinvers? Dabei ist f ja surjektiv. Haben wir zB f(1,2,3,4) und g(1,2,3) dann wäre eine surjektive Abbildung zB f(1)=f(2)= 1 , f(3)=2 und f(4)=3. bei rechtsinversen gilt f(g(a))=idA(a). Zuerst wird also g abgebildet. Bild man dabei 1 zurück auf 1 und 2? Eine Funktion ordnet ja einen Wert immer einen Funktionsweise zu. Also wärs falsch .können wir also sagen, 1 ordnen wir 1 zu und die 2 lassen wir frei? Hierbei wäre f surjektiv und g Injektiv. Mein Problem glaub ich ist folgender: unter g stelle ich es mir so, dass man die Pfeile die von f ausgingen einfach umdreht. Aber es ist anscheinend nicht so... Tut mir leid noch ne frage zu stellen, aber ich möchte alles genau wissen :/ schönes wochende noch!

27.10.2012, 14:26

zweiundvierzig

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Am einfachsten siehst Du das so, wie ich oben auch schon geschrieben habe: in genau derselben Situation mit $\begin{eqnarray*} g \circ f = \mathrm{id}_A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ rechtsinvers zu $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wieder ein Linksinvereses hätte, wär es ja surjektiv, was nicht wahr ist. Außerdem kann es hier gar keine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray*} A \to B \end{eqnarray*}$ geben, da $\begin{eqnarray*} |A| < |B| \end{eqnarray*}$ .

27.10.2012, 19:19

Mathsem1

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HAllo!

So ist das also Hammer

Hammer

. Wenn es zwei Funktionen f: A->B und g:B-> A gibt, dann ist f injektiv, wenn g eine linksinverse ist (g(f())=idA). PARALLEL dazu ist , wenn g eine linksinverse von f ist, f gleichzeitig auch eine rechtsinverse zu g. WEnn es eine linksinverse gibt, ist die andere Abbildung immer eine rechtsinverse. Die linksinverse Funktion ist dabei immer surjektiv, die rechtsinverse injektiv.
WAs meinst du aber mit "wenn f wieder ein Linksinverses " hätte? Wenn es so ist, dann IST f doch injektiv, da g(f()) gilt!

Nehmen wir nun folgendes an:
A = (1,2,3,4) und B=(1,2,3)

f(1)=f(2)=1, f(3)=2 und f(4)=3. f ist hier ja surjektiv. f ist genau dann surjektiv, wenn g ein rechtsinverses ist. g ist also injektiv! wie sieht aber hier die Abbildung g von (1,2,3) auf (1,2,3,4) aus?

Vielen dank für die Hilfe!

27.10.2012, 23:40

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathsem1
Die linksinverse Funktion ist dabei immer surjektiv, die rechtsinverse injektiv.
WAs meinst du aber mit "wenn f wieder ein Linksinverses " hätte? Wenn es so ist, dann IST f doch injektiv, da g(f()) gilt!

Zuzüglich dem nicht zitierten Teil davor vollkommen richtig. Da hab ich mich gehörig vertippt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich meinte:

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wieder ein Linksinverses wäre, wär es ja surjektiv, was nicht wahr ist.

Ansonsten bei Dir noch eine kleine Verbesserung:

Zitat:

Original von Mathsem1
Nehmen wir nun folgendes an:
A = (1,2,3,4) und B=(1,2,3)

f(1)=f(2)=1, f(3)=2 und f(4)=3. f ist hier ja surjektiv. f ist genau dann surjektiv, wenn ein Rechtsinverses g existiert ist. g ist also injektiv!

Hiermit hast Du Dir nun selbst noch eine gute Übungsaufgabe gestellt Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

Zitat:

Original von Mathsem1
wie sieht aber hier die Abbildung g von (1,2,3) auf (1,2,3,4) aus?

27.10.2012, 23:53

Mathsem1

Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ich dann z.B. g(1) die 1 zuordnen (oder halt die 2, 2 möglichkeiten :P), der 2 in A nichts zuordnen, g(2) die 3 und g(3) die 4 zuordnen? damit wäre g ja injektiv!

28.10.2012, 00:18

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathsem1
Würde ich dann z.B. g(1) die 1 zuordnen (oder halt die 2, 2 möglichkeiten :P),
[...] g(2) die 3 und g(3) die 4 zuordnen?

Du solltest eher sagen, dass $\begin{eqnarray*} g(1) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sein soll, d.h. $\begin{eqnarray*} g(1) := 1 \end{eqnarray*}$ usw.

Zitat:

Original von Mathsem1
der 2 in A nichts zuordnen, damit wäre g ja injektiv!

Du solltest eher schreiben, dass dann $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\{2\}) = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Aber bis auf die sprachlichen Punkte, hast Du recht. Mit Deiner Definition ist dann $\begin{eqnarray*} f \circ g = \mathrm{id}_B \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} g \circ f \neq \mathrm{id}_A \end{eqnarray*}$ , wovon Du Dich durch Nachrechnen überzeugen solltest, denn dann siehst Du ja, was schief geht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2012, 11:34

Mathsem1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! g^-1 (2) ist doch das gleiche wie f(2)=1! Das ist doch keine leere Menge?

28.10.2012, 20:02

zweiundvierzig

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Vorsicht, mit $\begin{eqnarray*} g^{-1}(\{2\}) \end{eqnarray*}$ ist hier die Urbildmenge $\begin{eqnarray*} \{b \in B \colon g(b) = 2 \} \end{eqnarray*}$ gemeint. Und die ist leer, wenn Du $\begin{eqnarray*} g(1) = 1, ~ g(2) = 3, ~ g(3) = 4 \end{eqnarray*}$ definierst.

28.10.2012, 21:58

Mathsem1

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Alles klar! Aber so würde es dann funktionieren?

28.10.2012, 22:01

zweiundvierzig

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Würde was funktionieren? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, wie ich oben schrieb:

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Mit Deiner Definition ist dann $\begin{eqnarray*} f \circ g = \mathrm{id}_B \end{eqnarray*}$ .

28.10.2012, 22:47

Mathsem1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo 42!

Bei mir ist mittlerweile alles klar, nur bei diesem Punkt ist mir noch nicht ganz das Licht aufgegangen. Du schriebst, dass mit meiner Definition g(f()) ungleich idA ist aber f(g())=idB. Ich komm mir mit nachrechnen nicht drauf, warum das nicht klappt, ich habe ja keine Zahlen :/ Außerdem kann ich mir immer noch nicht bildlich vorstellen, wie das ganze mit Pfeilen und Mengen aussieht :/

28.10.2012, 22:54

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathsem1
Ich komm mir mit nachrechnen nicht drauf, warum das nicht klappt, ich habe ja keine Zahlen :/

Doch, natürlich haben wir die. Die Funktionen lassen sich halt nicht als geschlossener Term definieren, sondern nur per Fallunterscheidung. Aber bei den wenigen Elementen ist das doch kein Problem, alles nachzuprüfen via $\begin{eqnarray*} f(g(1)) = f(1) = \ldots, \quad f(g(2)) = f(3) \end{eqnarray*}$ usw.

28.10.2012, 23:02

Mathsem1

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Aber mit den Zahlen, die nicht mehr definiert können, wie z.B: die 2, der ich keine Zahl mehr zuordne, sie wird dann einfach als leere Menge definiert? Weil momentan glaube ich, dass g(f())=idA und f(g())=idB genau das gleiche aussagen und immer zustimmen... Das eine ist ja zuerst f dann g, das andere g dann f. wenn man zuerst f dann g anwendet, kommt man ja von A->A, wenn man g dann g anwendet, kommt man ja von B->B. Das würde dann immer zutreffen oder nciht?

28.10.2012, 23:09

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mathsem1
die 2, der ich keine Zahl mehr zuordne, sie wird dann einfach als leere Menge definiert?

Natürlich muss $\begin{eqnarray*} g(2) \end{eqnarray*}$ als irgendein Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ definiert werden. Per Definition bildet eine Abbildung $\begin{eqnarray*} X \to Y \end{eqnarray*}$ jedes $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ auf je ein Element in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ab (anders ist es bei partiellen Funktionen).

Zitat:

Original von Mathsem1
Weil momentan glaube ich, dass g(f())=idA und f(g())=idB genau das gleiche aussagen und immer zustimmen... Das eine ist ja zuerst f dann g, das andere g dann f. wenn man zuerst f dann g anwendet, kommt man ja von A->A, wenn man g dann g anwendet, kommt man ja von B->B. Das würde dann immer zutreffen oder nciht?

Die Aussage ist nicht wahr und die Begründung auch nicht stimmig. Um ein Gegenbeispiel zu sehen, rechne bitte die beiden Relationen zwischen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nach, die ich oben angegeben habe.

Wir gehen dabei hiervon aus, um das nochmal klarzustellen:

Zitat:

Original von Mathsem1
f(1)=f(2)=1, f(3)=2 und f(4)=3

Zitat:

Original von zweiundvierzig
$\begin{eqnarray*} g(1) = 1, ~ g(2) = 3, ~ g(3) = 4 \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 18:26

Mathsem1

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Hallo 42,

Nach 2 Tagen überlegen habe ich alles in einem Beispiel nochmal nachgerechnet. SEi so lieb und wirf ein Blick drauf und sags mir, falsch was nicht in Ordnung ist

Linksinverse:

Gegeben seien 2 Mengen A=(1,2,3) und B=(a,b,c,d). f: A->B ist injektiv, gdw g:B->A ein linksinverses ist, also g(f())=idA.

Sei die Zuordnung bei f folgender: f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c und kein Element führt zu 4. f ist also injektiv. Für g gilt nun folgendes:

g:B->A, g(a)=1, g(b)=2, g(c)=3. g(d)= ein beliebiges Elemen aus A, da A drei Elemte hat, gibt es 3 verscheidene Linksinverse zu f (g(d)=1,2 oder 3).

Es gilt also: g(f(1))=g(a)=1, g(f(2))=g(b)=2, g(f(3))=g(c)=3. g(f())=idA gilt also. Schauen wir uns als Gegenbeispiel an: f(g()) ungleich idB bei INjektivität von f:

f(g(a))=f(1)=a stimmt. f(g(b))=f(2)=b stimmt. f(g(c))=f(3)=c stimmt.
Nun: f(g(d))=f(1) ODER f(2) ODER f(3) = a ODER b ODER c ist UNGLEICH d, daher stimmt die Voraussetzung für rechtsinverse nicht.

Stimmt es bisjetzt? Wenn ja poste ich noch mein Beispiel für Rechtsinverse...

Vielen Dank!

01.11.2012, 00:37

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mathsem1
f: A->B ist injektiv, gdw g:B->A ein linksinverses ist, also g(f())=idA.

Es muss heißen, "wenn ein Linksinverses $\begin{eqnarray*} g \colon B \to A \end{eqnarray*}$ existiert", sonst ergibt die Aussage keinen Sinn!

Zitat:

Original von Mathsem1
Sei die Zuordnung bei f folgender: f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c und kein Element führt zu 4. f ist also injektiv.

Gemeint ist wohl, dass $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kein Urbild hat (nicht 4).

Zitat:

Original von Mathsem1
g:B->A, g(a)=1, g(b)=2, g(c)=3. g(d)= ein beliebiges Elemen aus A, da A drei Elemte hat, gibt es 3 verscheidene Linksinverse zu f (g(d)=1,2 oder 3).

Du kannst nicht $\begin{eqnarray*} g(d) \end{eqnarray*}$ als beliebiges Element definieren! Wenn Du $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ definierst, dann definierst du ein konkretes $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und kannst nicht irgendeinen Bildwert unspezifiziert lassen. Deswegen kannst Du es so nicht aufschreiben, wie Du es jetzt wieder gemacht hast. Aber die Linkskürzung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ würde eben auch klappen unabhängig davon, wie man $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ definiert, insofern hast Du schon die richtige Idee dahinter.

Zitat:

Original von Mathsem1
Es gilt also: g(f(1))=g(a)=1, g(f(2))=g(b)=2, g(f(3))=g(c)=3. g(f())=idA gilt also.

Ja.

Zitat:

Original von Mathsem1
f(g(a))=f(1)=a stimmt. f(g(b))=f(2)=b stimmt. f(g(c))=f(3)=c stimmt.
Nun: f(g(d))=f(1) ODER f(2) ODER f(3) = a ODER b ODER c ist UNGLEICH d, daher stimmt die Voraussetzung für rechtsinverse nicht.

Auch das kannst Du so nicht hinschreiben. Korrekt aufgeschrieben: Unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gibt es kein Urbild von $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ , daher gilt für alle $\begin{eqnarray*} d \in B \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f(g(d)) \neq 4 \end{eqnarray*}$ , somit ist $\begin{eqnarray*} f(g(d)) \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv, d.h. insbesondere nicht die Identität.

01.11.2012, 16:15

Mathsem1

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HallO!

Du meinst im letzten Abschnitt: Unter f gibt es kein Abschnitt von d, nicht 4 oder?

Ansonsten brauche ich ein wenig Zeit mir alels nochmal durch den Kopf gehen zu lassen, ich melde mich dann wieder!

Gruß

01.11.2012, 23:04

zweiundvierzig

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Was meinst Du mit "Abschnitt"?

02.11.2012, 00:04

Mathsem1

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Ich miene einfach nur deinen Satz : "Unter f gibt es kein Urbild von 4"

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