Lineare Optimierung

25.10.2012, 20:40

Sevket

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Lineare Optimierung

Meine Frage:
Hey smile

smile

Hier meine Frage:
Im Monat benötigt ein Mensch mindestens 600 mg Vitamin B und 300 mg Vitamin H. Um diesen Bedarf durch Medikamente abzudecken, werden zwei verschiedene Sorte A und B angeboten: In einem Gramm der Sorte A sind 30 mg Vitamin B und 10 mg Vitamin H. In Sorte B sind 10 mg Vitamin B und 20 mg Vitamin H enthalten. Sorta A kostet 0,12? Sorte B 0,88?.

Wieviel Gramm jeder Sorte muss ein Mensch monatlich zu sich nehmen, um den Bedarf möglichst günstig abzudecken?

Setze: x= Menge Sorte A; y=Menge Sorte B.

Dieses Thema hat eine Schülerin erklärt und ich habe nichts verstanden bitte um dringende Hilfe!

Mit freundlichen Grüssen
Sevket smile

smile

Meine Ideen:
Keine ideen...

25.10.2012, 20:54

Kasen75

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Hallo,

die Variablendefinition ist schon mal ein sehr guter erster Schritt.
Die erste Restriktion wäre dann, den Vitamin-B-Bedarf zu decken:

$\begin{eqnarray*} .... \geq 600 \end{eqnarray*}$

Die fehlende linke Seite kannst du versuchen zu ergänzen, in dem du mit Hilfe der der Kombination der Variablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ausdrückst, wie die 600g (oder mehr) zustande kommen.

Mit freundlichen Grüßen.

25.10.2012, 23:42

Sevket

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Also 20x >600 da 20* 30 600 sind

26.10.2012, 00:02

Kasen75

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Das ist leider nicht richtig.

Restriktion für Vitamin B

$\begin{eqnarray*} (\textrm{Menge an Vit. B pro Pille A}) \cdot X + (\textrm{Menge an Vit. B pro Pille B}) \cdot Y \geq 600 \end{eqnarray*}$

Kannst du jetzt die Klammerausdrücke durch Zahlen ersetzen?

Und vielleicht kannst du auch schon die Restriktion für Vitamin H aufstellen.

26.10.2012, 07:08

Sevket

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Also muss ich da zahlen einsetzen sie zusammen 600 ergeben oder?

26.10.2012, 08:05

Kasen75

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Nicht ganz. Der linke Ausdruck der Ungleichung kann durchaus größer als 600 werden. Das ist aber im Moment noch unerheblich, da du ja erst die Ungleichungen aufstellst.

Für die Klammerausdrücke setzt du die in der Aufgabe gegebenen Werte ein.

Ich sehe gerade ich habe die Ausdrücke in den Klammern nicht gemäß der Aufgabenstellung wiedergegeben. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} (\textrm{Menge an Vit. B (mg) pro Gramm der Sorte A}) \cdot X + (\textrm{Menge an Vit. B (mg) pro Gramm der Sorte B}) \cdot Y \geq 600 mg \end{eqnarray*}$

Das passt auch besser zu Fragestellung. Haben X und Y die Einheit Gramm, dann kürzt sich die Einheit Gramm heraus und auf der linken Seite bleibt als Einheit nur noch mg. Genauso wie auf der rechten Seite. smile

smile

Wenn du die Werte eingesetzt hast, hast du deine erste Ungleichung.

Die zweite Ungleichung, für Vitamin H, ist äquivalent aufgebaut.

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26.10.2012, 15:14

Sevket

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Also

0,3x+0,1y grösser gleich 600mg?

Oder:
30x+10y
und für vitamin h
10x+20y`?

26.10.2012, 17:25

Kasen75

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Im Prinzip ist deine zweite Variante richtig:

$\begin{eqnarray*} 30 \ \Bigg[\frac{mg}{g}\Bigg] \cdot x \ [g] + 10 \ \Bigg[\frac{mg}{g}\Bigg] \cdot \ y \ [g] \geq 600 \ [mg] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10 \ \Bigg[\frac{mg}{g}\Bigg] \cdot x \ [g] + 20 \ \Bigg[\frac{mg}{g}\Bigg] \cdot y \ [g] \geq 300 \ [mg] \end{eqnarray*}$

Zwecks Übersichtlichkeit habe ich die Einheiten in eckige Klammern gesetzt. So kann man gut nachvollziehen, wie die Einheiten in den Ungleichungen verarbeitet werden.

In der Regel lässt man aber die Einheiten weg:

$\begin{eqnarray*} 30 \cdot x \ + 10 \cdot \ y \geq 600 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot x \ + 20 \cdot y \geq 300 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man noch die Zielfunktion aufstellen:

Was solll maximiert bzw. minimiert werden?

Der entscheidende Satzteil hier in der Aufgabe:

Zitat:

...um den Bedarf möglichst günstig abzudecken?

Übersetzt heißt das, dass die Ausgaben möglichst gering sein sollen.

Man muss also mit Hilfe der Variablen X und Y einen Term finden, der die Ausgaben zum Ausdruck bringt.

Wie könnte das aussehen?

27.10.2012, 11:49

Sevket

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Ist mit Bedarf der Preis gemeint?
wenn ja
dann könnte man doch einfach z.B. die 30x nehmen die wir in der ersten funktion haben.
die 30* den Preis für Sorta A
und wir wüssten wie viel es kostet.

DIe Frage lautet doch:
Wieviel Gramm jeder Sorte muss ein Mensch monatlich zu sich nehmen, um den Bedarf möglichst günstig abzudecken?

Das beschreiben doch die beiden funktionen oder nicht?

Wozu brauchen wir dann noch eine Funktion?
Um den Preis zu ermitteln denn unsere beiden Funktionen ergeben?

27.10.2012, 13:10

Kasen75

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Hallo,

ich werde aus deiner Antwort nicht ganz schlau.

Auf jeden Fall braucht man eine Funktion die angibt, wieviel Euro man ausgeben muss, wenn man von Sorte A die Menge x und von Sorte B die Menge y konsumiert.

Das haben wir ja noch nicht. Bis jetzt können wir nur ermitteln, ob bei bestimmten Mengen x und y der Bedarf an Vitamin A und H gedeckt ist.

Wir könnten jeweils $\begin{eqnarray*} 100g \end{eqnarray*}$ der Sorte A und der Sorte B konsumieren. Wir hätten dann folgende Mengen an Vitamin A bzw. Vitamin H zu uns genommen:

Vitamin A: $\begin{eqnarray*} 30*100+10*100=4000 \end{eqnarray*}$
4000 ist größer als 600. Somit ist der Bedarf an Vitamin A gedeckt.

Vitamin H: $\begin{eqnarray*} 10*100+20*100=3000 \end{eqnarray*}$
3000 ist größer als 300. Somit ist der Bedarf an Vitamin H gedeckt.

Aber ist das auch kostengünstig?
Nein.
Um die Kosten erstmal zu ermitteln brauchen wir eine Kostenfunktion. Und die Kosten würde man dann mittels linearer Optimierung möglichst klein halten.

Also, wie lautet die Kostenfunktion?

Zitat:

Ist mit Bedarf der Preis gemeint?

Mit Bedarf ist nicht der Preis gemeint. Sondern die Menge an Vitamin A und Vitamin H die ein Mensch mindestens braucht.

28.10.2012, 18:59

Sevket

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Hmm
Sorte A kostet 0,12 Sorte B 0,88

Dann lautet sie (glaube ich^^)
0,12x*0,88y=P (Preis)

Oder?
Tut mir leid, ich brauche bisschen bis ich etwas verstehe, aber danch kann ich es auch^^

28.10.2012, 20:26

Kasen75

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Hallo,

deine Zielfunktion ist richtig. Freude

Freude

Das ist nicht der Preis, sondern die Ausgaben, die man bei bestimmten Werten von x und y tätigen muss.

Somit hast du stehen:

$\begin{eqnarray*} 0.12x +0,88x \to MIN \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 30 \cdot x \ + 10 \cdot \ y \geq 600 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot x \ + 20 \cdot y \geq 300 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x,y \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to MIN \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass man die Ausgaben minimieren will.
Und $\begin{eqnarray*} x,y \geq 0 \end{eqnarray*}$ besagt, dass die Mengen von Sorte A und Sorte B nicht negativ sein dürfen. Das muss festgelegt werden, da man sonst für x oder y negative Mengen nehmen könnte damit die Zielfunktion möglichst klein wird.
Es gibt aber keine negativen Mengen.

Müsst ihr die Aufgabe auch noch lösen? Wenn man sich die Aufgabenstellung ansieht, dann sieht es so aus.
Normalerweise macht man dies mit dem Simplexverfahren. Man kann es hier unter Umständen aber auch grafisch lösen.

Wie löst ihr solche Aufgaben normalerweise?

Zitat:

Tut mir leid, ich brauche bisschen bis ich etwas verstehe, aber danch kann ich es auch^^

Dafür brauchst du dich nicht zu entschuldigen. Du hast es ja selbst gesagt, Hauptsache du kannst es am Ende.

Mit freundlichen Grüßen.

28.10.2012, 22:00

Sevket

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In der Schule meinten paar Schüler dass man, wenn man es rechnerisch lösen will man es nicht zu 100% lösen kann. Deshalb haben wir es noch gezeichnet. Aber ich keine Ahnung warum die das meinten...

28.10.2012, 22:29

Kasen75

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Ich denke, dass man es schon rechnerisch lösen kann. Es ist aber ziemlich aufwendig.
Man muss ja mit Schlupfvariablen und künstlichen Variablen arbeiten.

Aber du kannst es ja erstmal grafisch versuchen.

Edit: Bin bis Diensttagabend nicht online. Es kann gerne jemand anderes weitermachen. Wink

Wink

29.10.2012, 17:39

Sevket

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Kannst du mir beide Wege erklären bitte?

31.10.2012, 08:56

Kasen75

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Hallo,

für die graphische Lösung muss man erstmal sowohl die beiden Ungleichung als auch die Zielfunktion nach y auflösen.
Bei der Zielfunktion löst man folgende Gleichung nach y auf:

$\begin{eqnarray*} 0,12x+0,88y=0 \end{eqnarray*}$

Nun alle drei linearen Funktionen einzeichnen.

Dann verschiebt man die Zielfunktion solange nach oben, bis sie zum ersten Mal den zulässigen Bereich (gelb) berührt.

Das wäre erstmal die grafische Lösung.

Hast du Ansätze für das Simplex-Verfahren?

Mit freundlichen Grüßen.

31.10.2012, 09:22

Mystic

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Zitat:

Original von Kasen75

Dann verschiebt man die Zielfunktion solange nach oben, bis sie zum ersten Mal den zulässigen Bereich (gelb) berührt.

Das wäre erstmal die grafische Lösung.

Sorry, aber wenn mich nicht alles täuscht dann hast du dich bei der Einfärbung des zulässigen Bereichs vertan...

31.10.2012, 09:52

Kasen75

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@mystic,

ich habe mir das so gedacht:

Es sind ja $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ -Bedingungen. Also müsste der zulässige Bereich außerhalb des konvexen Gebildes (rot) liegen.

Mit morgendlichen Grüßen.

31.10.2012, 10:40

Mystic

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Naja, derzulaessige Bereich muss ja vor allem konvex sein und das ist er eben nicht...

31.10.2012, 10:47

Kasen75

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@mystic,

sind wir uns denn einig, dass es nicht der rote Bereich sein kann?

31.10.2012, 11:14

Mystic

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Zitat:

Original von Kasen75
@mystic,

sind wir uns denn einig, dass es nicht der rote Bereich sein kann?

Darin sind wir uns vollkommen einig... Freude

Freude

Gegenfrage: Sind wir uns einig, dass der zulässige Bereich eines linearen Optimierungproblems stets konvex sein muss?

31.10.2012, 11:42

Kasen75

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Auch da sind wir uns eingig. Freude

Freude

Deswegen habe ich jetzt den Lösungsraum konvexer gestaltet.
Der Lösungsraum ist ja überhalb jeder einzelnen Restriktion.

Gut, dass du nochmal nachgefragt hast. Freude

Freude

Mit freundlichen Grüßen.

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