Beweis dass mehrere Aussagen äquivalent sind

25.10.2012, 21:06

Tenacious

Beweis dass mehrere Aussagen äquivalent sind

Hallo,

die folgende Aufgabe bereitet mir ein bisschen Schwierigkeiten hinsichtlich des richtigen Aufschreibens..

"Man zeige, dass für eine $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) A kann durch eine Folge elementarer Zeilenoperationen auf die Einheitsmatrix überführt werden.
(ii) A ist ein Produkt von zu elementaren Zeilenoperationen gehörigen Matrizen.
(iii) A ist invertierbar.
(iv) Das homogene lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} A\cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ hat nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ."

Mein Ansatz:

Ich wollte erstmal alle Aussagen aufschreiben und dann zeigen dass gilt: $\begin{eqnarray*} (i)\Rightarrow (ii)\Rightarrow (iii)\Rightarrow (iv)\Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$
Also:

(i):
Seien $\begin{eqnarray*} L_{i} \end{eqnarray*}$ geeignete Elementarmatrizen: $\begin{eqnarray*} L_{i} A =I_{n} \end{eqnarray*}$

(ii):
Hier weiß ich nicht wie ich das aufschreiben, geschweige denn aus (i) folgern könnte.

(iii):
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist invertierbar wenn es eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gibt sodass gilt: $\begin{eqnarray*} AB = I_{n} = BA \end{eqnarray*}$
Was ja aus (ii) folgt, da das Produkt zweier invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist.

(iv):
Hier habe ich auch keinen richtigen Ansatz.

Wie kann ich (ii) und (iv) beschreiben und wie gehe ich dann weiter vor?

25.10.2012, 21:56

Causal

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RE: Beweis dass mehrere Aussagen äquivalent sind
Hm vllt. ist es schwieriger mit deiner Reihenfolge der Äquivalenzpfeile, versuch mal von $\begin{eqnarray*} (iii) \end{eqnarray*}$ zu starten. Wenn du weißt, dass eine $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, dann folgt daraus einiges... Weißt du auch was? Augenzwinkern

Gruß, Causal

25.10.2012, 22:10

Tenacious

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RE: Beweis dass mehrere Aussagen äquivalent sind

Zitat:

Original von Causal
Hm vllt. ist es schwieriger mit deiner Reihenfolge der Äquivalenzpfeile, versuch mal von $\begin{eqnarray*} (iii) \end{eqnarray*}$ zu starten. Wenn du weißt, dass eine $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, dann folgt daraus einiges... Weißt du auch was? Augenzwinkern

Gruß, Causal

Naja wenn A invertierbar ist dann folgen daraus die Aussagen die ich beweisen soll :p

Worau willst du hinaus?

26.10.2012, 07:13

Sly

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Was ist die Definition von Invertierbarkeit? Eine dieser Eigenschaften, die in der Definition drinstecken, liefert dir direkt den nächsten Schritt.

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