l1 nicht reflexiv

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
l1 nicht reflexiv
Meine Frage:
Moin, ich soll zeigen, dass nicht reflexiv ist und als Tipp ist gegeben, dass man lim auf dem Raum der konvergenten Folgen betrachten soll und dann den Satz von Hahn-Banach anwenden soll.


Ich bin gerade ein bisschen überfordert damit.

Meine Ideen:
Also was ich zeigen muss, ist ja, dass die kanonische Einbettung NICHT surjektiv ist, dass es also ein gibt, für das es kein gibt, sodass .


Aber wie ich den Tipp dafür jetzt benutzen kann, weiß ich nicht. Nur noch dass lim wohl das Funktional:



meint.


Kann mir bitte jemand helfen?
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre schon mal nicht schlecht, wenn du definierst. Soll das der Raum der betragsummierbaren Folgen sein mit der 1-Norm? die beschränkten mit Supremumsnorm?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wenn Du für das hier meintest, dann ja:



Und für : Ja.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Also so wie ich diese Aufgabenstellung lese, musstest du in einer früheren Aufgabe wahrscheinlich beweisen, dass der Dualraum von ist. Richtig?

Okay, dann wirf noch einmal einen Blick drauf, wie genau der Isomorphismus aussah. Man paart da quasi je eine beschränkte mit einer 1-summierbaren Folge durch eine gewisse Gleichung.

Falls reflexiv sein sollte, müsste jedes Funktional auf von dieser Form sein. Jetzt kommt der Tipp ins Spiel. Da ein abgeschlossener Unterraum ist, muss auch das Limesfunktional von einer speziellen Form sein. Guck dann mal, was da schief läuft.

Ich hoffe, das ist nicht zu kryptisch
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal schauen, ob ich Dich korrekt verstehe.

1.) Das Lim-Funktional auf c kann nach Hahn-Banach fortgesetzt werden zu einem Funktional auf . (Wieso - ist eine andere Frage, die ich noch klären muss.)

2.) , also ist das lim-Funktional Element von .


3.) Zeigen, daß kein Urbild in hat.



So ähnlich?
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1.) Das Lim-Funktional auf c kann nach Hahn-Banach fortgesetzt werden zu einem Funktional auf . (Wieso - ist eine andere Frage, die ich noch klären muss.)

Korrekt.

Zitat:
2.) , also ist das lim-Funktional Element von .

Die Gleichung stimmt nicht. Es gilt, wenn du die Reflexivität annimmst,dass . Und DESHALB ist das Lim-Funktional dadrin, denn es ist nach der ersten Feststellung auf der linken Seite.
Wichtig ist aber vor allem, wie dieser Isomorphismus konkret aussieht. Hast du das nun schon gemacht oder nicht?

Zitat:
3.) Zeigen, daß kein Urbild in hat.

Genau. Wie gesagt, empfehle ich das per Widerspruch zu beweisen.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly

Wichtig ist aber vor allem, wie dieser Isomorphismus konkret aussieht. Hast du das nun schon gemacht oder nicht?



Das hatten wir in der Vorlesung.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly

Die Gleichung stimmt nicht. Es gilt, wenn du die Reflexivität annimmst,dass . Und DESHALB ist das Lim-Funktional dadrin, denn es ist nach der ersten Feststellung auf der linken Seite.



Ah, ich glaube, ich verstehe!

ist Element von . Und .

WÄRE nun reflexiv, gälte .
------


Wie füllt man diesen Beweis nun mit Leben? Ich habe totale Probleme damit, es jetzt auch umzusetzen.

Also beginnen würde ich erstmal mit Hahn-Banach so:

BEWEIS:

ist ein lineares, stetiges Funktional. Es gilt . Nach dem Satz von Hahn-Banach kann zu einem linearen, stetigen Funktional mit und fortgesetzt werden.

Weiter weiß ich noch, dass vermittelt wird durch

.

Und die kanonische Einbettung, um die es hier geht, lautet

.



Nur: Wie bringt man das jetzt alles zusammen? verwirrt
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Nennen wir mal den Isomorphismus, den du jetzt korrekt aufgeschrieben hast.

Die kanonische Einbettung ist ja definiert via

. Schalten wir hier an geeigneter Stelle den Isomorphismus rein, so kriegen wir die Abbildung



Das heißt die Reflexivität können wir widerlegen, indem wir begründet, dass kein Isomorphismus sein kann. Da du kennst, haben Funktionale auf der rechten Seite eine spezielle Form. Wenn Reflexivität wahr wäre, müsste irgendeine Fortsetzung des Limes-Funktionals auf auch von dieser Form sein. Setz das mal alles ein und guck, ob du das zum Widerspruch führen kannst.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche es mal!

Ich bezeichne mal mit die Fortsetzung von .

Es gilt also . Das heißt doch, dass man als Element von betrachten kann, also ?

Sei nun als reflexiv angenommen, d.h. ist ein isometrischer Isomorphismus, also insbesondere bijektiv.

Dann gibt es zu ein mit . (*)

Sei . Wenn die Identität (*) gilt, muss für ein gelten:

.


Dabei gilt weil ja nach Hahn-Banach ist und dies insbesondere also für die Einschränkung von auf gilt.



Es würde also gelten:

.


Das muss man jetzt sicherlich zu einem Widerspruch führen, sofern es denn korrekt ist?
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist auf dem richtigen Weg, aber achte auf deine Formulierungen. Ich muss sagen, dass ich zB diese Zeile
Zitat:
Sei . Wenn die Identität (*) gilt, muss für ein gelten:

total konfus finde. Wenn du dir die Abbildung aus meinem Post anguckst (wobei dortiges hier ist), folgt aus (*), dass es eine Folge gibt, sodass für alle .

Zitat:
Es würde also gelten:

.

Die Gleichung, auf die du also schon gekommen bist, erhält man auf diese Weise. Sehr wichtig ist aber, dass die fix sind und eben NICHT von der Wahl der Folge abhängen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Mir ist nur unklar, wie man diese letzte Identität jetzt zum Widerspruch führen kann.

verwirrt

________________________________________________________________________

Muss man eine Folge in finden, für die das eben nicht gilt?

Edit: Hab grad so eine Idee gehabt.

Also erstmal ist eben wirklich wichtig, dass die hergeleitete Identität, die bei Reflexivität von gilt, wirklich für alle Folgen aus c gelten würde.

Sie müsste also auch beispielsweise für die Folge gelten, die an erster Stelle eine 1 stehen hat und ansonsten an allen anderen Stellen 0.

Also sei .

Dann


Ich würde sagen, dass man daran sieht, dass die Folge , die man oben immer verwendet hat (unter der Annahme, die kanonische Einbettung sei eben bijektiv) eben keinesfalls eindeutig bestimmt ist, da alle Folgenglieder sozusagen beliebig besetzt sein können, da sie eh wegfallen, also mit 0 multipliziert werden.

Damit kann kein (isometrischer) Isomorphismus sein (weil nicht bijektiv). Also ein Widerspruch zur Annahme, dass reflexiv ist.


edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel mit dieser einen Folge ist richtig. Der Rest ist aber total konfus.

Setz doch mal noch andere Folgen ein, die ähnlich aussehen...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, um das nochmal klar zu kriegen. Behauptet ist, dass die hergeleitete Identität für alle Folgen in , also insbesondere für alle Folgen in gilt.

Ich betrachte also die Einheitsfolgen, die ja allesamt in liegen.

Dann stellt sich heraus, dass die Folge , die nach Annahme erfüllen soll, so aussieht, dass alle Folgenglieder 0 sind, also .


Wenn ich jetzt aber zum Beispiel die Folge hernehme, gilt deswegen

.

Damit ist also eine konvergente Folge gefunden, für die die hergeleitete Identität nicht gilt und damit ist ein Widerspruch zu der Annahme gefunden, dass reflexiv ist.


-----Jetzt korrekt?------Danke für Deine Mühe!-----Wäre ich sonst nie draufgekommen.-----
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal vielen lieben Dank! Wink
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