Reihe auf Konvergenz untersuchen (mit Variablen)

26.10.2012, 09:47

Bornstein

Reihe auf Konvergenz untersuchen (mit Variablen)

Meine Frage:
Finden sie alle $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta , \gamma \in R \end{eqnarray*}$ für welche die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=n_{0}}^\infty \left(\frac{n^2+\alpha n}{n^2+\beta n+\gamma}\right)^{n^2} \end{eqnarray*}$

konvergiert

Meine Ideen:
Ich versuchte es mit dem Wurzelkriterium:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left(\frac{n^2+\alpha n}{n^2+\beta n+\gamma}\right)^{n^2}}= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+\alpha n}{n^2+\beta n+\gamma}\right)^n =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1+\frac{\alpha}{n}}{1+\frac{\beta}{n}+\frac{\gamma}{n^2}}\right)^n = e^{\alpha} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \left(1+\frac{\beta}{n}+\frac{\gamma}{n^2}\right)^n} \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Was kann ich mit dem übrigen Term machen? Kenne keine GW für einen Term wie diesen?

Danke für eure Hilfe!

Gruss

26.10.2012, 11:05

HAL 9000

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Hinweis: Basierend auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x \end{eqnarray*}$

kann man relativ leicht auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} + O\left( \frac{1}{n^2}\right) \right)^n = e^x \end{eqnarray*}$

folgern...

26.10.2012, 12:13

Bornstein

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hinweis: Basierend auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x \end{eqnarray*}$

kann man relativ leicht auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} + O\left( \frac{1}{n^2}\right) \right)^n = e^x \end{eqnarray*}$

folgern...

Danke! d.h.:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left(\frac{n^2+\alpha n}{n^2+\beta n+\gamma}\right)^{n^2}}=e^{\alpha-\beta} \end{eqnarray*}$

Das heisst die Reihe konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} \beta > \alpha \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \in R \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2012, 13:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bornstein
Das heisst die Reihe konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} \beta > \alpha \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \in R \end{eqnarray*}$ ?

Die Antwort ist zwar richtig, aber mir würde noch eine Begründung für die Divergenz im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta \end{eqnarray*}$ fehlen: Schließlich liefert da das Wurzelkriterium nur den Wert 1, d.h. keine Entscheidung hinsichtlich Konvergenz/Divergenz. Da muss man erklärungsmäßig also noch etwas nachlegen.

26.10.2012, 13:44

Bornstein

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Bornstein
Das heisst die Reihe konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} \beta > \alpha \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \in R \end{eqnarray*}$ ?

Ja du hast recht....also:

Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_n= \left(\frac{n^2+\alpha n}{n^2+\alpha n+\gamma}\right)^{n^2} = \left(\frac{1+\frac{\alpha}{ n}}{1+\frac{\alpha}{ n}+\frac{\gamma}{n^2}}\right)^{n^2} = \left(\frac{1+\frac{\alpha}{ n}}{(1+\frac{\alpha}{n})(1+\frac{\gamma}{n^2+\alpha n})}\right)^{n^2} = \frac{1}{\left(1+\frac{\gamma}{n^2+\beta n}\right)^{n^2}} \end{eqnarray*}$

Und der Limes davon wäre wieder $\begin{eqnarray*} e^{-\gamma} \end{eqnarray*}$ also keine Nullfolge und somit divergiert die Reihe bei $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2012, 14:45

HAL 9000

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Exakt das war der noch fehlende Baustein. Freude

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