Q in archimedischen Körpern

26.10.2012, 14:14

Studentu

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Q in archimedischen Körpern

Hallo!

Ich hab keinen Plan, wie ich folgendes Bsp. angehen soll:

Sei <K, +, .> ein archimedisch angeordneter Körper. Dieser enthält ja bekanntlich
Q (Genauer: Eine Kopie der rationalen Zahlen). Ist nun Q echter Unterkörper von K, so zeige man,
dass es sogar ein D Element von K\Q gibt mit 0 < D < 1.

Weiters zeige man, dass zwischen je zwei x < y aus K ein nicht rationales L mit
x < L < y gibt.
Hinweis: Zeigen Sie die letzte Behauptung zunächst für x, y Elemente von Q.

Habt ihr da eine Idee?
Bitte loslegen! Wink

Wink

26.10.2012, 14:23

zweiundvierzig

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RE: Q in archimedischen Körpern

Zitat:

Original von Studentu
Ist nun Q echter Unterkörper von K, so zeige man,
dass es sogar ein D Element von K\Q gibt mit 0 < D < 1.

Betrachte erstmal ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in K \setminus Q \ne \emptyset \end{eqnarray*}$ , o.B.d.A $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ . Was impliziert die Archimedizität der Ordnung nun?

26.10.2012, 14:29

Studentu

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RE: Q in archimedischen Körpern
Dass es ein beliebiges z gibt, das zwischen 0 und x liegt?

Die Def. lautet ja: Sei <K, + .> ein angeordneter Körper. Dann heißt K archimedisch angeordnet, wenn N als Teilmenge von K nicht nach oben beschränkt ist.
--> Was genau sagt das jetzt eigentlich aus? Die natürlichen Zahlen sind ja sowieso nicht nach oben beschränkt. Folgt daraus, dass K bis + unendlich geht?

26.10.2012, 14:34

zweiundvierzig

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RE: Q in archimedischen Körpern

Zitat:

Original von Studentu
Dass es ein beliebiges z gibt, das zwischen 0 und x liegt?

Beliebige Elemente liegen schonmal sicher nicht zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , aber Du hast auch nicht die Aussage des Archimedesaxioms wiedergegeben. Mit dem von Dir behaupteten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bist Du doch kleiner als die gegebene Schranke $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geworden, tatsächlich geht es aber hierum:

Zitat:

Original von Studentu
[...] wenn N als Teilmenge von K nicht nach oben beschränkt ist.

Wir können also ein $\begin{eqnarray*} z \in N \subset Q \end{eqnarray*}$ (!) mit welcher Eigenschaft finden?

26.10.2012, 14:51

Studentu

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Dass es in N liegt, aber nicht in Q?
Aber das geht ja gar nicht, die natürlichen Zahlen sind doch Teilmenge der rationalen.

26.10.2012, 15:12

Studentu

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Hallo, noch da?

Falls du glaubst, ich will nur nerven und stell mich blöd:

Das ist nicht der Fall.
Ich steh halt grad total auf der leitung.

Bitte helft mir!

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26.10.2012, 15:36

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Studentu
Hallo, noch da?

Hallo gleichfalls. Im Falle von Lebensgefahr gibt es einschlägige Telefonnummern. Aber archimedische Körper können vielleicht auch mal eine halbe Stunde (!) warten, meinst Du nicht auch?

Zitat:

Original von Studentu
Falls du glaubst, ich will nur nerven und stell mich blöd:

Bis zu deinem letzten Post habe ich Dir weder unterstellt mich zu nerven, noch hast Du mich genervt, aber solche Aussagen nerven mich in der Tat.

Zitat:

Original von Studentu
Dass es in N liegt, aber nicht in Q?
Aber das geht ja gar nicht, die natürlichen Zahlen sind doch Teilmenge der rationalen.

Wo steht das? Das Archimedesaxiom sagt, wie von Dir zitiert, $\begin{eqnarray*} N \subset K \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt. Wenn ich Dir also ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ gebe, was findest Du dann dazu passend?

26.10.2012, 16:03

Studentu

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Entschuldige bitte.

Zu dem x finde ich dann ein Element aus N?

Aber haben wir nicht vorher festgelegt, dass D aus K\Q sein soll und somit auch aus K\N?
Oder darf ich letzteres nicht daraus folgern?

26.10.2012, 16:05

Studentu

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oder finde ich ein z aus ein, das kleiner bzw. größer ist als x?

26.10.2012, 16:46

Studentu

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hab gemeint: "ein z aus N" ...

26.10.2012, 17:12

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Studentu
Entschuldige bitte.

Jo, alles okay. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, die letzten beiden Postings deuten auf das gewünschte hin: wegen der Archimedizität können wir zu einem beliebigen $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ (auch $\begin{eqnarray*} x \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ ) ein $\begin{eqnarray*} z \in N \subset Q \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} x < z \end{eqnarray*}$ .

Nun haben wir ja o.B.d.A. angenommen, dass $\begin{eqnarray*} 0 < x \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ sein soll, und wir möchten gerne ein Element aus $\begin{eqnarray*} K \setminus Q \end{eqnarray*}$ finden, das echt zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ liegt. Wie stellen wir das nun an?

26.10.2012, 17:20

Studentu

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ich weiß nicht... da hab ich ein echtes verständnisproblem

wäre vlt. 1/(die wurzel aus 7) ein beispiel für eine solche zahl? (damit ich mir mal was darunter vorstellen kann)

26.10.2012, 17:21

Studentu

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darf das z aus Q sein, wenn es das x nicht sein darf?

26.10.2012, 17:24

Studentu

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D soll ja aus K\Q sein. Darf das dann trozdem in N liegen? Und was bringt das, wenn doch eine natürliche Zahl sicher nicht zwischen 0 und 1 liegt?

26.10.2012, 17:27

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Studentu
wäre vlt. 1/(die wurzel aus 7) ein beispiel für eine solche zahl? (damit ich mir mal was darunter vorstellen kann)

Die Rolle welcher unserer Variablen würde Dein $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ spielen sollen?

Zitat:

Original von Studentu
darf das z aus Q sein, wenn es das x nicht sein darf?

Ja, wie ich eben geschrieben habe. Wir sollen am Ende ein $\begin{eqnarray*} D \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ bekommen mit $\begin{eqnarray*} 0 < D < 1 \end{eqnarray*}$ . Dazu nehme ich mir zuerst ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ (ohne Einschränkung größer als 0) und bekomme durch die archimedische Eigenschaft eben ein $\begin{eqnarray*} z \in N \subset Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < z \end{eqnarray*}$ . Wie kriegen wir damit nun ein Element $\begin{eqnarray*} D < 1, \quad D \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2012, 17:42

Studentu

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Zitat:
Die Rolle welcher unserer Variablen würde Dein $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ spielen sollen?

Hab gedacht, für eine Zahl, die nicht in Q , aber zwischen 0 und 1 liegt...

Zitat:
Wir sollen am Ende ein $\begin{eqnarray*} D \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ bekommen mit $\begin{eqnarray*} 0 < D < 1 \end{eqnarray*}$ . Dazu nehme ich mir zuerst ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ (ohne Einschränkung größer als 0) und bekomme durch die archimedische Eigenschaft eben ein $\begin{eqnarray*} z \in N \subset Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x < z \end{eqnarray*}$ . Wie kriegen wir damit nun ein Element $\begin{eqnarray*} D < 1, \quad D \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ ?
Danke, dass du das nochmal so übersichtlich aufgeschrieben hast. So hat man den Überblick wieder.
Aber ich weiß nicht, was ich mit dem z aus N machen soll.
Wenn ich einen Bruch bilde 1/N hab ich doch wieder eine rationale Zah.
Wollen wir eine irrationale Zahl durch z dividieren?

P.S.: Werd jetzt für ca. 1 1/2 Stunden meinen PC verlassen, aber ich hab dann das Interesse an der Aufgabe trotzdem nicht verloren.
Ich möchte sie unbedingt lösen.
Falls es dir heute zu spät wird, wenn ich zurückkomme und du nicht mehr da bist, würde ich dich ersuchen, mir morgen oder übermorgen weiterzuhelfen, denn ohne deine Hilfe bin ich bei dem Bsp. verloren.

Bis dann

26.10.2012, 17:49

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Studentu
Zitat:
Die Rolle welcher unserer Variablen würde Dein $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ spielen sollen?

Hab gedacht, für eine Zahl, die nicht in Q , aber zwischen 0 und 1 liegt...

Sicher das wäre ein solches Beispiel, aber in unserem Falle nicht ganz optimal. Aber Du hast unten schon den entscheidenden Ansatz geliefert:

Zitat:

Original von Studentu
Wollen wir eine irrationale Zahl durch z dividieren?

Bingo.

Augenzwinkern

Dann mach das doch mal in unserer Situation mit $\begin{eqnarray*} x \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \in N \subset Q \end{eqnarray*}$ .

27.10.2012, 18:04

Studentu

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okay, ich dividiere also für positive z 1durch z und für negative z -1 durch z, um 0 < D < 1 zu erhalten
und wie zeige ich das in mathematisch korrekter weise, dass dieses D existiert?

27.10.2012, 21:42

zweiundvierzig

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Naja, $\begin{eqnarray*} 1/z \leq 1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 1/z \end{eqnarray*}$ ist wieder in $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ . Wir wollen doch $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \in K \setminus Q \end{eqnarray*}$ finden. Lies Dir meine letzten Beiträge nochmal durch.

Edit: $\begin{eqnarray*} 1/z < 1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ verbessert.

28.10.2012, 00:04

Studentu

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Sry, hab mich nur verschrieben. Danke für deine Geduld.
Wollte statt z eigtl x schreiben.
Also D = 1/x
Aber wie zeig ich das nun mathematisch korrekt, dass es nicht in Q liegt?

28.10.2012, 00:54

zweiundvierzig

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Wieso sollte $\begin{eqnarray*} 1/x < 1 \end{eqnarray*}$ gelten? Davon können wir überhaupt nicht ausgehen.
Schau Dir die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x < z \end{eqnarray*}$ . Es genügt eine einfache Äquivalenzumformung, um das gesuchte $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ daraus zu bestimmen.

28.10.2012, 23:37

Studentu

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also, dann ist es wohl
x/z, richtig? (Falls ja, hätte ich da aber auch schon 5 posts früher draufkommen können Hammer

Hammer

...)

Aber wie soll ich nun alles anschreiben?

Bitte hilf mir auch bei dem zweiten teil des beispiels auf die sprünge. Da soll mas ja zuerst für Q zeigen und daraus dann allgemein...

29.10.2012, 08:55

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Studentu
x/z, richtig?

Ja, das ist richtig. Warum ist dieses Element wirklich in $\begin{eqnarray*} K \setminus Q \end{eqnarray*}$ ? (Tipp: Nimm das Gegenteil an).

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