Mengenlehre, wie Beweis aufstellen?

26.10.2012, 17:48

Gastleserin

Mengenlehre, wie Beweis aufstellen?

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich studiere im ersten Semester Mathematik und beim ersten Übungszettel macht sich schon bereits ein größeres Fragezeichen über meinem Kopf auf.

Ich soll zeigen, dass gilt:

(a) M c N
(b) M geschnitten N = M
(c) M vereinigt N = N

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das ganze nun mit einem Ringbeweis machen muss oder ob ich eine "richtige" Äquivalenz nachweisen muss. Gibts da Tipps?

Meine Idee war, das ganze ein bisschen umzuschreiben:

(a) => (b)
es gilt: M c N <==> x ? M => x ? N
es sei: M geschnitten N <==> x ? M geschnitten N => x ? M oder x ? N => x ? N . Daraus folgt dass M geschnitten N c N sein muss.

Es soll gezeigt werden, dass die beiden Aussagen äquivalent sind. Da M geschnitten N c N ist, gleichzeitig M geschnitten N = M ergibt, kann man doch "M" statt "M geschnitten N" einsetzen, und erhält somit M c N.
Ist damit nun eine Äquivalenz bewiesen? Oder ist der ganze Ansatz vollkommen unlogisch?

(b) => (c) habe ich noch nicht probiert, da ich nicht weiß, ob mein Ansatz auch nur ansatzweise stimmt...

(c) => (a)

Wäre sehr nett, wenn mich jemand aufklären könnte .. smile

26.10.2012, 18:01

Monoid

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RE: Mengenlehre, wie Beweis aufstellen?
Was meinst du mit M c N? Meinst du mit c Teilmenge?

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \forall M,N \text{Menge} : M \subset N \end{eqnarray*}$ genau wie die anderen Aussagen im allgemeinen falsch.

Steht nicht noch was über M,N im Übungsblatt?

26.10.2012, 18:05

Gastleserin

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Danke für die schnelle Antwort.

Im Übungsblatt steht lediglich: Seien M und N zwei Mengen. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

Mit c ist die Teilmenge gemeint.

Hilft das weiter?

26.10.2012, 18:35

mYthos

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Der Text ist unklar.
Ohne weitere Angabe kann a) gar nicht gezeigt werden.
Es ist eher zu vermuten, dass $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ eine Voraussetzung ist, unter der die Aussagen b) und c) zu beweisen sind. Die Aussage in a) heisst, dass M eine echte Teilmenge von N ist.

Wie schon oft, wenn FragestellerIn den Aufgabentexkt nicht vollständig und im Originalwortlaut postet, ist eine effiziente Hilfe schwierig, wenn nicht sogar unmöglich.

mY+

26.10.2012, 18:50

Gastleserin

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Es steht leider wirklich genau dieses Zeichen da. Ohne Strich oder so drunter.

Ich poste noch einmal den genauen Wortlaut der Aufgabe:

Seien M und N zwei Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind

(a) M $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ N
(b) M $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ N = N
(c) M $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ N = N

Unser Professor hat gesagt, er verwendet nie das "echte"-Teilmenge-Zeichen, da er findet, dass es sich aus dem Zusammenhang erschließen lässt.

26.10.2012, 19:23

Iorek

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Also verwendet euer Professor $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ synomym mit $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ?

Dann wollen wir doch mal da ran, deine Idee mit dem Ringschluss ist doch schonmal sehr gut. Dein Vorschlag oben ist jedoch unlesbar, schreibe ihn doch mal mit unserem Formeleditor.

26.10.2012, 20:15

Gastleserin

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Oh ich hab gerade gesehen, dass er wirklich unlesbar ist. Das tut mir Leid, ich habe vorhin nicht gesehen, dass es einen Formeleditor gibt.
Habe es jetzt noch einmal mit dem Editor versucht und hoffe, dass es verständlicher ist.

Der Professor benutzt $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ tatsächlich synonym.

(a) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (b)

es gilt: $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ <==> $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$
es sei: $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ <==> $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sein muss.

Es soll ja gezeigt werden, dass die beiden Aussagen äquivalent sind. Da $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist, gleichzeitig $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gilt, kann man doch in die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ - Gleichung " $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ " statt " $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ " einsetzen, und erhält somit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Ist damit nun eine Äquivalenz bzw. eine Folgerung bewiesen? Oder ist der ganze Ansatz vollkommen unlogisch?

(b) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (c) habe ich noch nicht probiert, da ich nicht weiß, ob mein Ansatz auch nur ansatzweise stimmt...

(c) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (a)

26.10.2012, 20:26

Iorek

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Zitat:

Original von Gastleserin
Es soll ja gezeigt werden, dass die beiden Aussagen äquivalent sind. Da $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist, gleichzeitig $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gilt, kann man doch in die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ - Gleichung " $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ " statt " $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ " einsetzen, und erhält somit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt so nicht. Du sollst die Äquivalenz der Aussagen zeigen, ja. Wild die Sachen einsetzen darfst du aber nicht.

Folgendes sollte gemacht werden für für $\begin{eqnarray*} a)\Rightarrow b) \end{eqnarray*}$ :

Es gelte $\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$ . Unter dieser Annahme sollst du nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M\cup N = M \end{eqnarray*}$ ist. Dabei steht dir nur zur Verfügung, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eben eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist.

Bei $\begin{eqnarray*} M\cup N=M \end{eqnarray*}$ sollst du die Gleichheit von zwei Mengen zeigen, das macht man normalerweise indem man die beiden Teilmengenbeziehungen nachweist, zeige also $\begin{eqnarray*} M\cup N \subseteq M \end{eqnarray*}$ (da ist kaum etwas zu zeigen) und zeige dann (immer noch unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} M\subseteq N \end{eqnarray*}$ ) noch $\begin{eqnarray*} M\subseteq M\cup N \end{eqnarray*}$ .

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