Ungleichungen

26.10.2012, 18:28

Mixer007

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Ungleichungen

Hallo Liebe Community,

ich habe hier eine Aufgabe vor mir liegen, bei der ich nicht so genau weiß, ob ich das richtige mache.

Und zwar soll die die Teilmenge von R bestimmen für die folgende Ungleichung definiert und erfüllt ist:

[latex] (x^2-5x)/ (x^2-9) >= - ( 4-3x) /( 3x+4)

da habe ich mir gedacht, dass ich hier mall erweitern tu, damit die brüche verschwinden und dann das ganze so umform, dass dann ein term rauskommt der so aussieht a+b+c >= 0

und dann halt schaue für welche x er definiert ist? Ist mein Ansatz richtig? Oder muss ich hier eine Fallunterscheidung machen?

26.10.2012, 19:07

HAL 9000

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Der beste Weg, eine Fallunterscheidung möglichst lange hinauszuschieben ist hier, alles auf eine Seite zu bringen

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-5x}{x^2-9} + \frac{4-3x}{3x+4} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ,

dann links alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen, und schließlich sowohl Nenner als auch Zähler faktorisieren, bis hin zu Linearfaktoren - soweit das im reellen möglich ist. Dann kann man das bzw. die Lösungsintervalle nahezu direkt ablesen.

26.10.2012, 19:14

Mixer007

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das hießt alles auf einen nenner bringen und dann eine polynomdivision durchführen

26.10.2012, 19:18

HAL 9000

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Warum Polynomdivision? Nein, die bringt nichts, entscheidend ist doch am Ende nur das Vorzeichen von Zähler bzw. Nenner, und um das für die verschiedenen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu erkennen, sollst du ja faktorisieren.

26.10.2012, 19:32

Mixer007

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also wenn ich jetzt den Hauptnenner bilde kommt raus:

$\begin{eqnarray*} 3x^3 +4x^2 -15x^2 -20 +4x^2 -36 -3x^3 +27x / ( x^2-9 ) ( 3x+4)<br /> \end{eqnarray*}$

und nach Zusammenfassen und ausmultiplizieren des Nenners

$\begin{eqnarray*} (8x^2 +12x -56)/ ( 3x^3 +4x^2 -27x -36) \end{eqnarray*}$

da kann ich doch nichts auklammern oder?

26.10.2012, 19:39

KomplexeZahl

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Versuch mal zu faktorisieren!
also zerlege den Zähler und den Nenner in Linearfaktoren. Im Zähler kannst du ja bspw. leicht die Nullstellen über die pq-Formel oder quadratische Ergänzung bestimmen und damit dann ja den Zähler in Linearfaktoren angeben!

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26.10.2012, 19:47

Mixer007

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den zähler kann ich doch nicht faktorisieren, der hat doch komplexe Nullstellen?

26.10.2012, 20:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mixer007
und nach Zusammenfassen und ausmultiplizieren des Nenners

$\begin{eqnarray*} (8x^2 +12x -56)/ ( 3x^3 +4x^2 -27x -36) \end{eqnarray*}$

Von Nenner ausmultiplizieren hat doch keiner was gesagt, das ist doch kontraproduktiv, wenn wir später faktorisieren wollen. Einmal nachdenken, nur EINMAL. unglücklich

unglücklich

Beim Zähler scheinst du dich verrechnet zu haben, ich bekomme bei

$\begin{eqnarray*} (x^2-5x)(3x+4)+(x^2-9)(4-3x) \end{eqnarray*}$

jedenfalls was ganz anderes heraus.

27.10.2012, 09:53

Mixer007

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o.O entschuldige bitte

Ich hab mich verschrieben:

Die Ungleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} (x^2-5)/ ( x^2-9) >= - (4-3x)/ (3x+4) \end{eqnarray*}$

alles meine Fehler, sry Hammer

Hammer

dann müsste das was ich geschrieben, da rauskommen, nur dass das beim Nenner nicht ausmultipliziert habe. Also das hier:

$\begin{eqnarray*} (8x^2 +12x -56 )/ (x^2-9) ( 3x+4) \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 10:45

HAL 9000

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Das ist dann natürlich was anderes. Jetzt diesen Zähler $\begin{eqnarray*} 8x^2+12x-56 \end{eqnarray*}$ faktorisieren, d.h. zunächst mal dessen Nullstellen bestimmen. Welche übrigens beide reell sind (im Gegensatz zu deiner obigen Aussage).

27.10.2012, 12:18

Mixer007

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ok die Nullstellen sind x= 2 und x= -3,5

und wie mach ich das jetzt mit den Linearfaktoren, weil das ist mir eigentlich neu verwirrt

verwirrt

27.10.2012, 14:32

HAL 9000

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Naja, alles zusammengefasst, dazu noch $\begin{eqnarray*} x^2-9=(x-3)(x+3) \end{eqnarray*}$ im Nenner zerlegt sind wir bei

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \cdot \frac{\left(x+\frac{7}{2}\right)(x-2)}{(x+3)\left(x+\frac{4}{3}\right)(x-3)} \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Entscheidend ist jetzt folgendes: Bei jeder der im vorliegenden Fall nur einfachen Nullstellen (hier mal in geordneter Reihenfolge)

$\begin{eqnarray*} {\color{red}-\frac{7}{2}},\quad {\color{blue}-3},\quad {\color{blue}-\frac{4}{3}},\quad {\color{red}2},\quad {\color{blue}3} \end{eqnarray*}$

von Zähler sowie Nenner wechselt der Term links das Vorzeichen. Insofern muss man nur noch die passenden Intervalle aufsammeln - dabei natürlich aufpassen, dass die Zählernullstellen zur Lösungsmenge gehören können, die Nennernullstellen aber nicht ...

28.10.2012, 08:06

Mixer007

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ok, stimmen dann diese Intervalle, wo die Ungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} -7/2 < x< -3 \wedge -4/3 < x< 2 \wedge x>3 \end{eqnarray*}$

stimmt das? Was ich aber trotzdem nicht verstanden hab, wie du das so einfach nur aus der Funktion rausfindest, wie man da drauf kommt, dass die Funktion ihre Vorzeichen wechselt, und ich würd gern noch wissen wie du auf den Zähler gekommen bist? Weil ich hab das jetzt einfach in den GTR eingetippt und geschaut wo die Ungleichung gilt, aber so komm ich nicht drauf. Könntest du mir das vielleicht noch mal erklären bitte?

28.10.2012, 09:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mixer007
ok, stimmen dann diese Intervalle, wo die Ungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} -7/2 < x< -3 \wedge -4/3 < x< 2 \wedge x>3 \end{eqnarray*}$

Statt $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ stehen, außerdem wäre das dann nur die Lösung der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-5}{x^2-9} + \frac{4-3x}{3x+4}~{\color{red}>}~0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Gleichheitsstellen musst du also noch ergänzen!

Zitat:

Original von Mixer007
wie man da drauf kommt, dass die Funktion ihre Vorzeichen wechselt,

Durch Überlegung: In einer (kleinen) Umgebung einer Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ wechselt $\begin{eqnarray*} (x-x_k) \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen, während alle anderen Linearfaktoren dort ihr Vorzeichen (positiv oder negativ) behalten. Was auf Produkt/Quotient all dieser Linearfaktoren angewandt bedeutet, dass dort das Vorzeichen wechselt, während es in Intervallen zwischen den Nullstellen konstant bleibt.

Zitat:

Original von Mixer007
und ich würd gern noch wissen wie du auf den Zähler gekommen bist?

Na du kannst doch nicht die kompletten Schulkenntnisse zu quadratischen Funktionen vergessen haben: Mit den Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ einer quadratischen Funktion $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ lässt sich diese auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$

d.h. als Produkt der Linearfaktoren verbunden noch mit dem Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der höchsten Potenz. Gleiches gilt dann auch für Polynome höheren Grades.

28.10.2012, 10:03

Mixer007

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ah ok

also so:

$\begin{eqnarray*} -7/2 <= x <3 \vee -4/3 <x<=2 \vee x> 3 \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 10:03

HAL 9000

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Ja.

28.10.2012, 11:08

Mixer007

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Vielen, Vielen Dank, das hat mir echt viiel geholfen Freude

Freude

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